Quaternion - quaternion

Let H be a linear space over the real number field R with four elements 1, i, j, and k as the basis, with 1 as the identity element for multiplication.
(1) ⁱ² = ^j2 = ^k2 = -1
(2)ij=-ji=k, jk=-kj=i, ki=-ik=j
(3) By defining multiplication so that a(xy)＝(ax)y＝x(ay) (a∈R, x, y∈H), we can make the field non-commutative with respect to multiplication. This H is called a quaternion field, and the elements of H are
(4)x＝a1＋bi＋cj＋dk (a, b, c, d∈R) is called a quaternion. In particular, in (4), the quaternion x such that b＝c＝d＝0 is the real number a, and x such that c＝d＝0 is the complex number a＋bi. In this sense, the quaternion field H contains the real number field R and the complex number field C as subfields. In fact, it is known that the only fields that are finite linear spaces over R (where multiplication is not necessarily commutative) are R, C, and H.

For the quaternion x in (4), the quaternion a1-bi-cj-dk is written as and is called the conjugate quaternion of x.

The real number N(x) is written as N(x) and is called the norm of x.

x＝0⇔N(x)＝0
If x ≠ 0, then the inverse of x is

Quaternions are also called Hamilton's quaternions because they were discovered by the British mathematician Hamilton in 1843. This discovery marked the beginning of number theory.

[Tsuneo Kanno]

Source: Shogakukan Encyclopedia Nipponica About Encyclopedia Nipponica Information | Legend

四つの元1、i、j、kを基底とする実数体R上の線形空間Hを、1を乗法についての単位元とし、
(1)i²＝j²＝k²＝－1
(2)ij＝－ji＝k, jk＝－kj＝i, ki＝－ik＝j
(3)a(xy)＝(ax)y＝x(ay)　(a∈R, x, y∈H)を満たすように乗法を定義することにより、乗法について可換でない体にすることができる。このHを四元数体といい、Hの元
(4)x＝a1＋bi＋cj＋dk (a, b, c, d∈R)を四元数という。とくに、(4)でb＝c＝d＝0のような四元数xは実数aであり、c＝d＝0のようなxは複素数a＋biである。この意味で、四元数体Hは実数体Rと複素数体Cを部分体として含んでいる。実際、R上有限次線形空間になっている（かならずしも乗法が可換でない）体はR、C、Hに限ることが知られている。

　(4)の四元数xに対し、四元数a1－bi－cj－dkをと書き、xの共役四元数といい、

なる実数をN(x)と書き、xのノルムという。

　　x＝0⇔N(x)＝0
が成り立ち、x≠0なら、xの逆元は

　四元数はイギリスの数学者ハミルトンによって1843年に発見されたので、ハミルトンの四元数ともいう。この発見が多元数論の出発点になった。

［菅野恒雄］

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