Fourier series - Fourier series

Japanese: フーリエ級数 - ふーりえきゅうすう（英語表記）Fourier series

For a periodic function f ( x ) with period 2π defined in the interval [0,2π],

As a series

This is called the Fourier series of the function f ( x ). J. Fourier introduced this in the 1810s to solve the heat diffusion problem.

A basic problem with Fourier series is what conditions must be placed on f ( x ) so that the series S [ f ]( x ) converges and its sum is equal to f ( x ). The difficulty of this problem is that, for example, for the Fourier series S [ f ]( x ) to converge to f ( x ) at each point, it is not enough for f ( x ) to be continuous (there is a counterexample). If we require f ( x ) to be a little smoother and define "a periodic function f ( x ) is piecewise smooth if, in the interval [0,2π], f '( x ) exists and is boundedly continuous except for a finite number of points," then if the function f ( x ) is piecewise smooth in [0,2π], then the Fourier series S [ f ]( x ) of f ( x ) converges to 1/2{ f ( x -0)+ f ( x +0)} at any point x .

This conclusion also holds true if f ( x ) is bounded ( f ( x )= f1 ( x ) -f2 ( x ₎ , where f1 ₍ x ) _and f2 ( x ₎ are monotonically increasing functions).

In this way, the final result in the direction of generalizing the function f ( x ) was obtained by L. Carlson of Sweden in 1966. It shows that f ( x ) is square integrable in [0,2π], i.e.

Then, the Fourier series S [ f ]( x ) converges to f ( x ) for almost every x .

[Haruo Sunouchi]

L2 convergence of ^Fourier series

Let L ² [0,2π] denote the set of square-integrable functions (satisfying (1)) defined in [0,2π]. For f ( x ), g ( x )∈ L ² [0,2π], we define the inner product and norm as

Then, L ² [0,2π] becomes a Hilbert space.

In particular, the sequence of functions { _fn ( x )} satisfies _‖fn - _f0‖ →0( n →∞ ) for f0 ( x ) _.
When this occurs, { _fn ( x )} is said to converge _to f0 ( x ) ⁱⁿ L2 (mean square). Extending the concept of convergence in this way, we can say that for a continuous function f ( x ) with a period of 2π, its Fourier series S [ f ]( x ) converges to f ( x ) in L2 ^.

[Haruo Sunouchi]

Orthogonal Function System

In general, if we define L2 ( a , b ) as the set ^of square-integrable functions on the interval [ a , b ], and define the inner product and norm (2) as the integral from a to b , then L2 ⁽ a , b ) is ^a Hilbert space. When { _j ( x )} ⊂ L2 ( a , b ) is 〈 _i , _j 〉=0 ( i ≠ j ), { _j ( x )} is said to be an orthogonal function system, and further, when _‖j‖ =1 for all j , it is said to be an orthonormal function system.

Given a system of orthonormal functions { _j ( x )} ⁱⁿ L2 ( a , b ), for f ( x ) ∈L2 ( ^a , b ) , we create a series _cj =〈 f , _j 〉.

is called a Fourier series in { _j ( x )}. The expansion in orthonormal systems is included in the general theory of Hilbert spaces.

L ² [0,2π]

is a system of orthonormal functions.

In L ² (-1,1), the Legendre polynomials

is a system of orthogonal functions,

become.

[Haruo Sunouchi]

"Fourier Series" by Satoshi Igari (1975, Iwanami Shoten)

[Reference] | Function analysis | Hilbert spaces

Source: Shogakukan Encyclopedia Nipponica About Encyclopedia Nipponica Information | Legend

Japanese:

区間［0,2π］で定義された周期2πの周期関数f(x)に対し、

として、級数

を考え、これを関数f(x)のフーリエ級数という。これはJ・フーリエが1810年代に熱拡散問題を解くために導入したものである。

　フーリエ級数で基本的な問題は、f(x)にどのような条件を置くと、級数S［f］(x)が収束し、その和がf(x)に等しくなるかである。この問題のむずかしさは、たとえばフーリエ級数S［f］(x)が各点でf(x)に収束するためには、f(x)が連続というだけでは十分でない（反例がある）。もうすこしf(x)に滑らかさを要求して、「周期関数f(x)が区分的に滑らかであるとは、区間［0,2π］において、有限個の点を除いてf´(x)が存在して有界連続となること」と定義すると、関数f(x)が［0,2π］において区分的に滑らかならば、f(x)のフーリエ級数S［f］(x)は任意の点xで1/2｛f(x-0)+f(x+0)｝に収束する。

　この結論は、f(x)が有界変動（f(x)=f₁(x)-f₂(x)と書けて、f₁(x),f₂(x)は単調増加関数）としてもそのまま成り立つ。

　このように関数f(x)を一般にする方向では、最終的な結果が、1966年にスウェーデンのL・カールソンによって得られた。それはf(x)が［0,2π］で自乗可積分、すなわち

ならば、そのフーリエ級数S［f］(x)はほとんど至る所のxでf(x)に収束する。

［洲之内治男］

フーリエ級数のL²収束

［0,2π］で定義された自乗可積分（（1）を満足する）な関数の全体をL²［0,2π］で表し、f(x),g(x)∈L²［0,2π］に対して内積とノルムを

で定義すると、L²［0,2π］はヒルベルト空間になる。

　とくに関数列｛f_n(x)｝がf₀(x)に対し
　　‖f_n-f₀‖→0 (n→∞)
となるとき、｛f_n(x)｝はf₀(x)にL²収束（自乗平均収束）するという。このように収束の概念を拡張すると、周期2πをもつ連続関数f(x)に対し、そのフーリエ級数S［f］(x)はf(x)にL²収束することがいえる。

［洲之内治男］

直交関数系

一般に区間［a,b］上の自乗可積分な関数の全体をL²(a,b)とし、内積やノルムを、（2）をaからbまでの積分として定義すると、L²(a,b)はヒルベルト空間になる。｛_j(x)｝⊂L²(a,b)が〈_i,_j〉=0(i≠j)となるとき、｛_j(x)｝は直交関数系であるといい、さらに、すべてのjに対し、‖_j‖=1となっているとき正規直交関数系であるという。