Fourier integral

Japanese: フーリエ積分 - フーリエせきぶん（英語表記）Fourier integral

For function f ( x ) that is integrable over (-∞, ∞), consider the following function F ( t ). The integral on the right-hand side is called the Fourier integral, and the function F ( t ) on the left-hand side is called the Fourier transform of f ( x ). The transformation from f to F using (1) is also called the Fourier transform. This is equivalent to finding the Fourier coefficients of a function over a finite interval. In response to expanding a function into a Fourier series over a finite interval, consider expressing the function f ( x ) over (-∞, ∞) in the form shown below. If f ( x ) has bounded variation in the vicinity of the point x , then the equation holds when the left-hand side of (2) is replaced with 1/2{ f ( x +0) + f ( x -0)}.

Source: Heibonsha World Encyclopedia, 2nd Edition Information

Japanese:

(－∞，∞)において積分可能な関数f(x)に対して，次の関数F(t)を考える。この右辺の積分をフーリエ積分といい，左辺の関数F(t)をf(x)のフーリエ変換という。また(1)によるfからFへの変換をもフーリエ変換という。これは有限区間における関数のフーリエ係数を求めることに相当する。有限区間で関数をフーリエ級数に展開することに対応して(－∞，∞)上の関数f(x)を，のような形に表すことを考える。f(x)が点xの近傍で有界変動ならば，(2)の左辺を1/2｛f(x＋0)＋f(x－0)｝で置き換えた式が成立する。

出典　株式会社平凡社世界大百科事典第２版について　情報

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