Symmetrical equation

Japanese: 対称式 - たいしょうしき

Polynomials in two or more n variables X ₁ , …, X _n

For any i and j such that 1≦ i ＜ j ≦ n , even if X _i and X _j appearing in f are replaced by other ones, the polynomial does not change, that is, f ( X ₁ ,……, X _i ,……
, _Xj ,……, _Xn )
= f ( X ₁ ,……, X _j ,……
, X _i ,……, X _n )
When , f is called a symmetric equation.

is a symmetric formula. Furthermore, any symmetric formula of n variables can be expressed as a polynomial of these n symmetric formulas S ₁ , …, S _n . In this sense, S ₁ , …, S _n are called elementary symmetric formulas of n variables. For example, an elementary symmetric formula of three variables is
S1 ₌ _X1 ₊ _X2 + X3 ,
S ₂ = X ₁ X ₂ + X ₁ X ₃ + X ₂ X ₃ ,
S3 ₌ X1 _X2 X3
_So _, X12 ₊ X22 + X32 ⁼ S12 ^-2S2
It becomes.

A symmetric formula f in n variables is such that for any permutation σ of 1, 2, …, n ,
f ( X _σ(1) , X _σ(2) ,……, X _σ(n) )
= f ( X ₁ , X ₂ ,……, X _n )
To show that polynomial f is symmetric, replace X _i and X _{i +1} with each other for i = 1, 2, …, n -1 and verify that the result remains unchanged.

If the roots of the polynomial f ( X ) = X ⁿ + a ₁ X ^{n -1} +……+ a _{n -1} X + a _n are α ₁ , …, α _n , then the relationship between the roots and the coefficients is a _j =(-1) ^j S _j (α ₁ ,……,α _n )
( j =1,……, n )
Thus, the symmetric formula is widely used.

[Tsuneo Kanno]

Source: Shogakukan Encyclopedia Nipponica About Encyclopedia Nipponica Information | Legend

Japanese:

2個以上のn個の変数X₁、……、X_nの多項式

が、任意の1≦i＜j≦nなるiとjに対し、fに現れるX_iとX_jを互いに他と置き換えても、多項式として変わらないとき、つまり
　　f(X₁,……,X_i,……
　　　,X_j,……,X_n)
　　　=f(X₁,……,X_j,……
　　　,X_i,……,X_n)
のとき、fを対称式という。

は、対称式である。さらに、任意のn変数の対称式は、これらn個の対称式S₁、……、S_nの多項式で表される。この意味で、S₁、……、S_nをn変数の基本対称式という。たとえば、三変数の基本対称式は、
　　S₁=X₁+X₂+X₃,
　　S₂=X₁X₂+X₁X₃+X₂X₃,
　　S₃=X₁X₂X₃
で、X₁²+X₂²+X₃²=S₁²-2S₂
となる。

　n変数の対称式fは、1、2、……、nの任意の置換σに対し、
　　f(X_σ(1),X_σ(2),……,X_σ(n))
　　　=f(X₁,X₂,……,X_n)
を満たす。また、多項式fが対称式であることを示すには、i=1,2,……,n-1に対し、X_iとX_i+1を互いに他と置き換えて、変わらないことを確かめればよい。