Stieltjes integral

Japanese: スティルチェス積分 - スティルチェスせきぶん（英語表記）Stieltjes integral

Let f ( x ) and g ( x ) be bounded functions defined in the closed interval [ a , b ], and let _the partition Δ of [ a , b ] be a _{= x0} < x1 < _x2 < x3 < _... < _xn = b . For this partition Δ , choose an arbitrary point t _i included in [ x _i , x _i _-1 ] and calculate the sum
If S Δ converges to a certain limit value when the maximum width of the division Δ , that is, _δ ＝max( x _i － x _i _-1 ) approaches 0 infinitesimally, regardless of the division method and the corresponding t _i , then the limit value is called
and is called the Stieltjes integral of f ( x ) using the function g ( x ).

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Japanese:

f(x) および g(x) を閉区間 [a，b] で定義された有界な関数とし，[a，b] の分割 Δ を，a＝x₀＜x₁＜x₂＜x₃＜…＜x_n＝b とする。この分割 Δ に対し，[x_i，x_i_-1] に含まれる任意の点 t_i を選んで，和
をつくる。分割 Δ の幅のうちで最大のもの，すなわち δ＝ max (x_i－x_i_-1) を限りなく0に近づけるとき，あらゆる分割の仕方，およびそれに応じる t_i のとり方にかかわらず S_Δ が一定の極限値に収束するならば，その極限値を
と書き，関数 g(x) を用いてつくられる f(x) のスティルチェス積分という。

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