Applied mathematics

The term "applied mathematics" evokes a variety of images. At the beginning of the Showa era, applied mathematics meant least squares methods, interpolation methods, numerical solutions, harmonic analysis, probability statistics, graphical calculation methods, etc., and the content of applied mathematics was to apply existing mathematics (especially analysis) to given problems to solve them. "Applied Mathematics" (21 volumes in total), published by Kawade Shobo in the late 1930s, was structured as follows (at the time of publication): (1) Algebra and Geometry, (2) Theory of Differential Equations, (3) Theory of Integral Equations, (4) Theory of Complex Functions, (5) Definite Integrals and Fourier Series, (6) Elliptic Functions, (7) Spherical Functions, Euclidean Functions, and Hypergeometric Functions, (8) Probability Theory and Statistics, (9) Least Squares Method, Numerical Integration, and Numerical Calculation Methods, (10) Computational Graphics and Computing Machines, (11) Applied Elasticity, (12) Structural Mechanics, (13) Hydraulics, (14) Aerodynamics, (15) Mechanical Mechanics, (16) Theory of Vibrations, (17) Elastic Waves, (18) Electromagnetic Waves, (19) Electrical Circuits, (20) Electrostatic Fields, and (21) Theory of Heat Conduction. These topics give us an idea of ​​what applied mathematics was considered to be at the time.

Operations research (OR), which attracted attention for its remarkable effectiveness during and after World War II, and the results of research into electronic computers, which began to develop rapidly around the same time, dramatically expanded the scope of applied mathematics. OR methods, in a nutshell, consist of three steps: first, construct a mathematical model for the problem at hand, then mathematically analyze the model, and finally interpret the results of the analysis in light of the original problem to arrive at a final conclusion. If a conclusion is reached that does not fit reality, the model must be reconsidered. In this sense, the three steps are also closely related to each other. When analyzing these mathematical models, a numerical answer is often required in the end, and in this respect computers play a very important role, and the effectiveness of OR methods can be said to be the result of the development of computers.

Now, assuming that an appropriate mathematical model is set for a given concrete problem, applied mathematics is the mathematics (not necessarily pre-existing) used to analyze the model. On the other hand, there is a trend toward full-scale adoption of mathematical methods in various academic fields, such as mathematical economics, mathematical biology, and mathematical linguistics. Such research often requires new mathematics, and these can also be classified as applied mathematics.

Here, we will list some of the fields of applied mathematics that first appeared after the war: linear programming, nonlinear programming, game theory, dynamic programming, control theory, information theory, combinatorics, graph theory, queuing theory, automata theory...

Next, let us briefly explain linear programming and dynamic programming.

A standard problem in Linear Programming (LP) is of the following form: "Find the values ​​of the variables that maximize (or minimize) a linear function called the objective function, subject to simultaneous linear inequalities related to n non-negative variables as constraints."

For this problem, if you proceed with the calculation according to a certain procedure, it will be possible to determine which of the following three cases will occur during the calculation: (1) when there are no variable values ​​that satisfy the constraints, (2) when there are variable values ​​that satisfy the constraints that can increase (decrease) the value of the objective function indefinitely, or (3) when there are variable values ​​that satisfy the constraints and maximize (minimize) the objective function. Furthermore, in the case of (3), it is possible to find the variable values ​​that maximize (minimize) the objective function with a finite number of arithmetic operations. This method is called the simplex method, and was proposed by GB Dantzig. An important part of the theory of LP is the linear programming duality theorem. This duality theorem is essentially the same as J. Farkas's theorem on linear inequalities: "Using matrix symbols, A is a matrix with m rows and n columns, and b is a column vector with m terms. There exists an x ​​such that Ax = b, x ≥ 0, or there exists a y such that tAy ≥ 0, tby < 0. Also, such x and y cannot exist simultaneously." However, it is interesting to note that Farkas' theorem was already derived in 1902. In 1979, LG Hachiyan/G. K. Hachyan discussed LP problems based on a completely new approach and proposed a solution method other than the simplex method. This method is closely related to the theory of computational complexity. For example, when solving n linear equations (simultaneous linear equations) with n unknowns, the solution can be obtained by performing arithmetic operations about n ³ times by using the elimination method. Generally speaking, when the size of a problem, n, and the basic operations for a particular solution method for a problem are specified, and a solution can be obtained by performing a number of basic operations on the order of n ^k , the computational complexity of the solution method is said to be of polynomial order. It is known that the simplex method is not of polynomial order. Hachan showed that there are solutions to linear programming problems that are of polynomial order.

Next, we will discuss Dynamic Programming (DP). DP is a method developed by R. Bellman in the 1950s. Bellman successfully applied this method to problems with multi-stage processes (when there are several problems within a problem and the final result depends on how each step is dealt with, how should each step be dealt with in order to obtain the final desired result?). This DP method has a very wide range of applications. The basis of the idea of ​​DP is the optimality principle (a method that is globally optimal is also optimal when partially limited), and by applying this principle to a given problem, a basic equation is derived. This basic equation is also called Bellman's equation, and is often expressed in a form that includes the four arithmetic operations, differential operations, integral operations, etc., as well as operations to obtain the maximum and minimum values ​​of a certain variable. Various numerical methods using computers have been devised to directly find the solution to this basic equation. DP methods are applicable to both discrete and continuous problems. They are also closely related to the classical calculus of variations and control theory.

I have described new applied mathematics above, but as I wrote at the beginning, there have also been great developments in the traditional areas of applied mathematics. For example, numerical analysis has made great progress, completely changing its appearance, thanks to advances in computers. There has also been progress in theoretical research into issues such as errors in numerical calculations and the degree of complexity of calculations required for numerical calculations. Furthermore, the scope of applications of mathematics is expanding rapidly thanks to developments in analysis, such as the theory of differential equations, functional analysis, and the theory of generalized functions.

[Shigeru Furuya]

"Applications of Mathematical Programming (Practical Edition)" edited by Suzuki Masamichi and Takai Eizo (Lectures on Mathematical Programming 11, 1981, Sangyo Tosho) " "Applications of Mathematical Programming (Theoretical Edition)" edited by Iri Masao and Konno Hiroshi (Lectures on Mathematical Programming 10, 1982, Sangyo Tosho)

Source: Shogakukan Encyclopedia Nipponica About Encyclopedia Nipponica Information | Legend

応用数学という名称のもつイメージは多様である。昭和の初めごろ、応用数学といえば最小二乗法、補間法、数値解法、調和解析、確率統計、図式計算法などであって、与えられた問題に対して既成の数学（とくに解析学）を当てはめて解決するというのがその内容であった。昭和10年代後半に河出書房から刊行された『応用数学』（全21巻）は次のように構成されている（発刊当時）。(1)代数学及幾何学、(2)微分方程式論、(3)積分方程式論、(4)複素関数論、(5)定積分及フーリエ級数、(6)楕円(だえん)関数、(7)球関数・円壔(えんとう)関数・超幾何関数、(8)確率論及統計論、(9)最小二乗法・数値積分法・数値計算法、(10)計算図表学・計算器械、(11)応用弾性学、(12)構造力学、(13)水力学、(14)空気力学、(15)機械力学、(16)振動論、(17)弾性波、(18)電磁波、(19)電気回路、(20)静電場、(21)熱伝導論
　これらの題目をみると、当時、応用数学がどのようなものと考えられていたかを知ることができる。

　第二次世界大戦中から戦後にかけて目覚ましい効果をあげて注目されるようになったオペレーションズ・リサーチ（OR）の方法、およびそれとほぼ同時期に急速な発展を始めた電子計算機の研究の成果は、応用数学の範囲を飛躍的に拡大することになった。ORの方法は、一言でいえば、まず当面の問題に対して数式によるモデルを構成し、次にそのモデルを数理的に解析し、さらにその解析結果をもとの問題に照らし合わせて解釈し最終結論を得るという3段階よりなっている。もし現実に適合しない結論が得られたときは、モデルを再検討しなければならない。この意味でも三つの段階は互いに密接に関連しあっている。この数式モデルの解析にあたって、最終的には数値による解答が必要なことが多く、この点で計算機の果たす役割は非常に大きいものがあり、ORの方法の有効性は計算機の発展のたまものということができる。

　さて、与えられた具体的問題に対して適当な数式モデルが設定されたものとして、そのモデルの解析に用いられる数学（既成のものとは限らない）が応用数学である。一方、数理経済学、数理生物学、数理言語学などのように、各学問分野においても数理的手法が本格的に取り入れられる傾向がみられる。このような研究では数学としても新しいものが必要になることが多く、これらも応用数学のうちに入れることができる。

　ここで、戦後になって初めて登場した応用数学のいくつかの項目を並べてみよう。線形計画法（リニア・プログラミング）、非線形計画法、ゲームの理論、動的計画法（ダイナミック・プログラミング）、制御理論、情報理論、組合せ理論、グラフ理論、待ち行列理論、オートマトン理論……。

　次に線形計画法と動的計画法について簡単に説明しよう。

　線形計画法Linear Programming（略してLPともいう）の一つの標準的問題は次の形である。「n個の非負の変数に関する連立一次不等式を制約条件として目的関数とよばれる一次関数を最大（または最小）にするような変数の値を求めること」。

　この問題に対して、ある一定の手順に従って計算を進めていくと、(1)制約条件を満たすような変数の値が存在しない場合、(2)制約条件を満たす変数値のうちに目的関数の値をいくらでも大きくする（小さくする）ものがある場合、(3)制約条件を満たし目的関数を最大（または最小）にする変数値が存在する場合、の三つの場合のどれになるかが計算の途中で判定され、しかも(3)の場合には目的関数を最大（または最小）にする変数値を有限回の四則演算で求めることができる。この方法は単体法とよばれ、ダンツィクG. B. Dantzigによるものである。LPの理論として重要なものは線形計画双対(そうつい)定理である。この双対定理は、線形不等式におけるファーカスJ. Farkasの定理「行列記号を用いる。Aはm行n列の行列でbはm項縦ベクトルとする。Ax＝b、x≧0を満たすxが存在するか、またはtAy≧0、tby＜0を満たすyが存在する。またこのようなxとyが同時に存在することはない」と内容的には同等であるが、ファーカス定理はすでに1902年に得られていたものであることは興味深い。1979年にハチャンЛ．Г．Хачиян／L. G. Hachiyanはまったく新しい考え方に基づいてLPの問題を論じ、単体法とは別の解法を提案した。この方法は計算の複雑性の理論と密接な関連をもつ。たとえば、n個の未知数をもつn個の一次方程式（連立一次方程式）を解く場合に、消去法によって計算すればn³の程度の回数の四則演算を行って解が得られる。一般的にいえば、一つの問題の特定の解法に対して問題の規模nおよび基本演算とが定められ、n^kの程度の基本演算の回数によって解が得られるとき、その解法の計算複雑度は多項式オーダーであるという。単体法は多項式オーダーではないことが知られている。ハチャンは線形計画の問題の解法で多項式オーダーのものがあることを示した。

　次に動的計画法Dynamic Programming（略してDPともいう）について述べる。DPは1950年代にベルマンR. Bellmanによって開発された方法である。ベルマンは多段階過程の問題（問題のなかにいくつもの問題があり、最終結果が各段階における対処の仕方に依存するとき、最終的に望ましい結果を得るためには、各段階でどのように対処すればよいか）に対してこの方法を適用して成功した。このDPの方法は、非常に広い応用範囲をもつ。DPの考えの基本は最適性原理（大局的に最適である方法は、部分的に限定した場合にも最適である）であって、与えられた問題に対してこの原理を適用することによって基本方程式が導かれる。この基本方程式はベルマンの方程式ともよばれ、四則演算、微分演算、積分演算などのほかに、ある変量についての最大値、最小値をとる演算をも含む形で表されることが多い。この基本方程式の解を直接に求める数値的方法も計算機を用いる種々の方法が考えられている。DPの方法は離散的な問題にも連続的な問題にも適用される。また古典的変分法、制御理論とも密接な関係をもつ。

　以上、新しい応用数学について述べたが、初めに書いたような以前からの応用数学の部分についても大きな発展がみられる。たとえば、数値解析は計算機の進歩によって面目を一新する大きな進歩を遂げた。また数値計算の誤差の問題、数値計算に要する計算の複雑さの程度の問題などについても理論的研究が進んでいる。さらに微分方程式論、関数解析学、超関数論など解析学の発展により数学の応用される範囲が急速に拡大している。

［古屋　茂］

『鈴木誠道・高井英造編『数理計画法の応用（実際編）』（『講座・数理計画法11』1981・産業図書）』▽『伊理正夫・今野浩編『数理計画法の応用（理論編）』（『講座・数理計画法10』1982・産業図書）』

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