Propositional logic

In modern logic, this is the field that deals with forms of reasoning that can be expressed using only conjunctions and negation symbols. For example,
If A then B
A
Therefore, B
The reasoning that was called "Hypothetical syllogism" in the era of traditional logic also falls within the scope of propositional logic. Because,
If A then B
If you don't mind being verbose, you can say that it is not (A and not (B)). This rephrasing is done by using the conjunction symbol "∧" which corresponds to "de" and the negation symbol "￢" which corresponds to "de de nai", as follows:
￢(A∧(￢B))
As can be seen from this example, the hypothetical syllogism of traditional logic can be fully absorbed into propositional logic.
A or B
Not A, therefore B
Disjunctive syllogisms, such as the above example, can also be absorbed into propositional logic. Categorical syllogisms are naturally absorbed into predicate logic, but they can also be absorbed into propositional logic by changing the interpretation of symbols. In other words, all of the classifications of inference forms used in traditional logic can be absorbed into propositional logic.

Moreover, by corresponding symbols to logic elements, propositional logic can be interpreted as describing the logical design of computers. To the extent that the function of neural synapses can be considered to be similar to that of logic elements, the results of propositional logic can also be used to create logical models of neural networks.

Then, for example,
Since all propositions that fit the form (A but not A) are correct, this form is said to be logically correct. In propositional logic, there is a mechanical method, an algorithm, for determining whether a form written only with symbols is logically correct, no matter how long or complicated it is. This is a notable feature of propositional logic; there is no algorithm for determining whether the forms dealt with in predicate logic are correct or not.

[Yoshida Natsuhiko]

Source: Shogakukan Encyclopedia Nipponica About Encyclopedia Nipponica Information | Legend

現代論理学のなかで、連言記号と否定記号だけを使って表現できる推論の形式を扱う分野。たとえば、
　AならB
　A
　ゆえにB
という、伝統的論理学の時代に「仮言三段論法」とよばれた推論も、命題論理学の守備範囲に入る。なぜなら、
　AならB
は、くどくなるのをいとわなければ
　（Aで（Bではない））ではない
といいかえることができるが、このいいかえた形は、「で」にあたる連言記号「∧」と、「ではない」にあたる否定記号「￢」を使って、
　￢（A∧（￢B））
と表すことができるからである。この例から察せられるように、伝統的論理学の仮言三段論法は、命題論理学にすべて吸収できる。また、
　AかB
　Aではない
　ゆえにB
を一例とする選言三段論法も、命題論理学に吸収できる。定言三段論法は、述語論理学に吸収するのが自然であるが、記号の解釈を変えることにより、命題論理学のなかに吸収することもできる。つまり、伝統的論理学の行った推論の形式の整理分類は、すべて命題論理学に吸収できるのである。

　また、記号を論理素子に対応させれば、命題論理学は、コンピュータの論理設計について述べているものと解釈することができる。神経のシナプスの働きが論理素子の働きと同様なものと考えられる限りでは、神経網の論理的モデルをつくるのに命題論理学の成果を利用することもできる。

　次に、たとえば、
　（AでAではない）ではない
という形式の当てはまる命題はすべて正しいので、この形式は論理的に正しいものであるという。命題論理学の記号だけで書かれた形式には、それがどんなに長くても、どんなに入り組んでいても、論理的に正しいかどうかを機械的に決める方法、いわゆるアルゴリズムがある。これは命題論理学の著しい特色であって、述語論理学の扱う形式の正否を決めるアルゴリズムは存在しないのである。

［吉田夏彦］

出典　小学館　日本大百科全書(ニッポニカ)日本大百科全書(ニッポニカ)について　情報 | 凡例