Uncertainty principle

Japanese: 不確定性原理 - ふかくていせいげんり（英語表記）uncertainty principle

When measuring the position and momentum of particles in the microscopic world, such as atoms and elementary particles, the measured values of these physical quantities generally vary even if the particle state is the same. In this case, there is a fixed relationship between the magnitude of the variation. When this relationship is considered as a principle, it is called the uncertainty principle. It was discovered by the German physicist Heisenberg in 1927.

[Hajime Tanaka]

Motion of the classical and microscopic worlds

When a baseball is hit, as shown in Figure A (1), it flies away. The ball always has a fixed position and a fixed speed or velocity during flight, and the motion of the ball can be shown as a curve drawn by a single point, as shown in Figure A (2). However, the situation is completely different for the motion of particles in the microscopic world. Figure B (1) shows the result of measuring the x- coordinate of the position of an electron in a hydrogen atom, and the direction of the axis is arbitrary. Similar results are obtained for the y- and z -coordinates of the position. An electron in a hydrogen atom does not move around a proton in an orbit like planets in the solar system, but is in a wave-like motion state. The measured value of the position of an electron in this state varies from measurement to measurement, even if the motion state is the same, but the frequency of each measured value obtained when multiple measurements are made is fixed for each measurement. Figure B (1) shows the frequency distribution of the measured values of the electron's position as a probability. Δ x in Figure B is the magnitude of the variation in the measurements.

In Figure B (2), instead of the measured speed of the electron, we show the frequency distribution of the measured momentum (speed × mass) and the magnitude of the dispersion Δ p of the measured values. The magnitude of this dispersion is

Here, ħ is the Planck constant h divided by 2π. The result of multiplying these two variations is (2/3) = 0.816..., which is greater than 1/2ħ. This relationship, namely Δ x Δ p ≧ħ/2, is called the uncertainty relation, and it applies not only to the motion of electrons in hydrogen atoms, but also between the position and momentum of particle motion in general. Moreover, it always applies more broadly to canonically conjugate mechanical variables. This relationship shows the core characteristics of the motion state of particles in the microscopic world, and the relationship between conjugate physical quantities is called the uncertainty relation. Using this relationship, we can understand many characteristics of quantum phenomena. When we pay special attention to this point, the uncertainty relation is called the uncertainty principle.

[Hajime Tanaka and Ikuyoshi Kato]

Quantum mechanics and the uncertainty principle

Figure C shows the state of electrons in hydrogen atoms as a finite cloud-like distribution of points. If we compare the state of particles in the microscopic world, represented by such a distribution, with the state of motion of a particle in the classical world, represented by a single point in Figure A (2), we can see how the mechanics of the microscopic world, i.e. quantum mechanics, differs from classical mechanics.

In the quantum mechanical motion of a particle, there are cases where the particle's position is almost fixed and Δ x is close to zero. However, in this case, due to the uncertainty relation, considering that the momentum dispersion Δ p is always larger than ħ/(2 Δ x ), as Δ x →0, Δ p →∞, and the momentum dispersion becomes extremely large. The same is true even if the momentum dispersion becomes small.

The uncertainty relation can be theoretically derived from a special relation between position x and momentum p , that is, the commutation relation xp - px = i ħ. Therefore, the uncertainty relation is a characteristic of the microscopic state, i.e., the quantum state, and is objective, not subjective. A similar relation Δ t Δ E ≧ ħ/2 also holds between time and energy. A particle in a high-energy state moves rapidly to a low-energy state as time passes. It can be shown that a similar relation holds between the time interval Δ t and the energy interval Δ E in this case. As a result, it can be seen that a particle can be in a high-energy state for a short period of time.

To create the screen of Figure C from (1) and (2) in Figure B , first divide the screen of Figure C into many square subdivisions d with some equally spaced vertical and horizontal lines. Next, find the probabilities P x _' and P _{p '} in Figure B(1) and Figure B(2) for the values of position x ' and momentum p ' corresponding to this subdivision d , and fill in the subdivision d with a density proportional to the product of both probabilities P _{x '} · P _{p '} . Instead of filling it in, you can also randomly place a number of dots proportional to the product of these probabilities. This process is carried out for the entire subdivision. Figure C shows the result when it is divided into 40 x 40.

In quantum mechanics, the distribution of coordinates and momentum can be represented by a single diagram (Figure C) instead of two diagrams ((1) and (2) in Figure B).

[Hajime Tanaka and Ikuyoshi Kato]

Uncertainty relations and physical laws

According to classical mechanics, the electrons in hydrogen atoms are moving in a circular orbit, an accelerated motion, which means they constantly emit electromagnetic waves, and as a result, they will disintegrate in one hundred billionth of a second. This means that classical mechanics cannot derive the stability of hydrogen atoms. If the electron's range of motion is reduced while moving mechanically, Δ x also becomes smaller, and the uncertainty relation requires that Δ p become larger. At this point, the kinetic energy increases. Electrons do not enter such a state of high energy. In other words, the range of electron motion cannot be reduced below a certain limit. In this way, the uncertainty relation can clearly show the basis for the stability of hydrogen atoms.

After the proposal of the uncertainty principle, the view that it was applied to all phenomena in general and denied the law of causality emerged, which had a great impact on thought and philosophy. In particular, the method that Heisenberg first used to derive the uncertainty relation was not an actual experiment, but a thought experiment that focused on the disturbance of an object that occurs when the position of a particle is measured successively. For this reason, it has often been taken up as a good example of the subjective being involved in the objective, and as a concrete example of the non-causality of the world. However, as mentioned above, the uncertainty relation can be easily derived in quantum mechanics and is an unambiguous expression of the state of particles moving quantum mechanically. Therefore, it is not thought to show the incompleteness of quantum mechanics or the non-causal nature of nature.

Masanao Ozawa (1950-) found an inadequacy in the derivation of Heisenberg's uncertainty principle, and improved it to provide an unambiguous derivation. He proposed it in 2003 and it is known as the "Ozawa inequality."

[Hajime Tanaka and Ikuyoshi Kato]

"The Uncertainty Principle by Mikio Namiki (1982, Kyoritsu Shuppan)" ▽ "Physics in Mathematics: Towards Geometric Quantum Theory by Hideki Omori (2004, University of Tokyo Press)" ▽ "Quantum Wonders: The World of the Uncertainty Principle by Yasuo Hara (Chuko Shinsho)" ▽ "The Uncertainty Principle: A Challenge to Fate by Takuji Tsuzuki, New Edition (Kodansha, Bluebacks)"

[References] | Heisenberg | Planck constant | Quantum mechanics

Movement of the Classical World (Fig. A)
©Shogakukan ">

Movement of the Classical World (Fig. A)

Movement in the microscopic world (distribution of positions and momentum of electrons in a hydrogen atom) [Figure B]
©Shogakukan ">

Movement in the microscopic world (position of electrons in a hydrogen atom)

Motion of electrons in a hydrogen atom (Fig. C)
©Shogakukan ">

Motion of electrons in a hydrogen atom (Fig. C)

Source: Shogakukan Encyclopedia Nipponica About Encyclopedia Nipponica Information | Legend

Japanese:

原子や素粒子などの微視的世界の粒子の位置と運動量を測定すると、粒子の状態が同じであってもこれらの物理量の測定値は一般にばらつく。この場合、ばらつきの大きさの間には定まった関係がある。この関係を原理のようにみなしたとき、この関係を不確定性原理という。ドイツのハイゼンベルクが1927年にみいだしたものである。

［田中　一］

古典的世界と微視的世界の運動

図Aの(1)のように野球のボールをたたくとボールは飛んでいく。ボールは飛行中つねに確定した位置と確定した速さあるいは速度を有していて、図Aの(2)のようにボールの運動状態を1個の点の描く曲線として示すことができる。しかし、微視的世界の粒子の運動では事情がまったく異なる。図Bの(1)は水素原子内電子の位置x座標を測定した結果であり、軸の方向は任意である。位置のy座標やz座標についても同様な結果となる。水素原子内電子は太陽系内の惑星のように軌道を描いて陽子の周りを運動しているのではなく、波のような運動状態にある。この状態にある電子の位置の測定値は、運動状態が同一であっても測定ごとに測定値がばらついているが、多数回測定したときに得られる個々の測定値の頻度は測定値ごとに定まっている。図Bの(1)は電子の位置の測定値の頻度分布を確率で示す。図BのΔxは測定値のばらつきの大きさである。

　図Bの(2)では、電子の速さの測定値のかわりに運動量（速さ×質量）の測定値の頻度分布と測定値のばらつきの大きさΔpを示す。このばらつきの大きさは、それぞれ

である。ここでħはプランク定数hを2πで割ったものである。これら二つのばらつきの大きさを乗じた結果は(2/3)＝0.816…となって1/2ħより大きい。この関係すなわちΔxΔp≧ħ/2を不確定性関係といい、水素原子内電子の運動の場合のみならず粒子の運動一般の位置と運動量の間に成り立つ。そればかりではなく、もっと広く正準共役(きょうやく)な力学変数の間でもつねに成り立つ。この関係は、微視的世界の粒子の運動状態の特徴の核心を示したものであって、共役な物理量の間の関係を不確定性関係という。この関係を用いると量子的現象の多くの特徴を理解することができる。とくにこの点に注目したとき不確定性関係を不確定性原理とよぶ。

［田中　一・加藤幾芳］

量子力学と不確定性原理

図Bの(1)と(2)とを後に示す方法で一つの図にまとめたものが図Cであって、水素原子内電子の状態を有限な広がりをもつ雲のような点の分布で示す。このような分布で表される微視的世界の粒子の状態と図Aの(2)の1点で表される古典的世界の粒子の運動状態とを比べてみれば、微視的世界の力学すなわち量子力学が古典力学といかに異なっているかを知ることができよう。

　粒子の量子力学的運動状態のなかには、粒子の位置がほぼ定まっていてΔxがゼロに近い場合がある。しかし、この場合には不確定性関係から、運動量のばらつきΔpがħ/(2Δx)よりつねに大きいことを考えると、Δx→0となるにしたがいΔpは→∞となって運動量のばらつきはきわめて大きくなってしまう。運動量のばらつきが小さくなっても同じである。

　不確定性関係は位置xと運動量pの間の特別の関係すなわち交換関係xp－px＝iħから理論的に導くことができる。したがって、不確定性関係は微視的状態すなわち量子的状態の特徴を示すものであって、主観的なものでなく、客観的なものである。時間とエネルギーとの間にも、不確定性関係と同様な関係ΔtΔE≧ħ/2が成り立つ。エネルギーの高い状態にある粒子は、時間がたつにしたがって急速にエネルギーの低い状態に移っていく。このときの時間間隔Δtとエネルギー間隔ΔEの間に不確定性関係と同様の関係が成り立つことを示すことができる。この結果、短い時間の間であれば粒子は高いエネルギー状態をとることができることがわかる。

　図Bの(1)と(2)から図Cの画面の図を作成するには、まず図Cの画面を等間隔の縦と横の何本かの直線で多数の正方形の小区画dに分ける。次にこの小区画dに対応する位置x'と運動量p'の値に対する図B(1)と図B(2)の確率P_x'とP_p'を求め、両確率の積P_x'・P_p'に比例する濃度で小区画dを塗りつぶす。塗りつぶすかわりに、この確率の積に比例する数の点をランダムに打ってもよい。この処理を小区画全体にわたって行う。図Cは40×40に分けたときのものである。

　量子力学では、座標と運動量のそれぞれの分布を表す二つの図（図Bの(1)、(2)）ではなく、一つの図（図C）で表すことができる。

［田中　一・加藤幾芳］

不確定性関係と物理法則

古典力学によるならば、水素原子内の電子は円軌道運動という加速度運動を行っているため絶えず電磁波を放出し、その結果、1000億分の1秒で崩壊してしまうことになる。つまり、古典力学では水素原子の安定性を導き出すことができないことを意味する。電子が力学的に運動しながらその運動範囲を縮めていくとΔxもまた小さくなり、不確定性関係からΔpが大きくならざるをえなくなる。このとき運動エネルギーが増大する。電子はエネルギーが大きいこのような状態をとらない。いいかえれば電子の運動範囲はある限度以下に小さくなることができない。このように不確定性関係は水素原子の安定性の根拠を端的に示すことができる。

　不確定性原理の提唱後、これを広く事象一般に適用するとともに因果律を否定する見解が現れて思想と哲学にも大きな影響を与えた。とくにハイゼンベルクが最初、不確定性関係を導くのに用いた方法は、実際の実験ではなく、思考上の実験として粒子の位置を引き続いて測定したときに生じる対象の乱れに注目したものであった。このため、これは主観が客観に関与する格好の例として、また世界の非因果性を示す具体例としてもたびたび取り上げられた。しかしながら、先に述べたように、不確定性関係は量子力学的に簡単に導くことができるもので、量子力学的に運動する粒子の状態をあいまいさなく表現したものである。したがって量子力学の不完全さや自然が非因果的であることを示すものとは考えられていない。

　小澤正直（1950―　）はハイゼンベルクの不確定原理の導出に不十分な点があることをみつけ、その点を改善して疑義のない導出を与えた。2003年（平成15）に提唱し、「小澤の不等式」とよばれている。

［田中　一・加藤幾芳］

『並木美喜雄著『不確定性原理』（1982・共立出版）』▽『大森英樹著『数学のなかの物理学――幾何学的量子論へむかって』（2004・東京大学出版会）』▽『原康夫著『量子の不思議――不確定性原理の世界』（中公新書）』▽『都筑卓司著『不確定性原理――運命への挑戦』新装版（講談社・ブルーバックス）』

[参照項目] | ハイゼンベルク | プランク定数 | 量子力学

古典的世界の運動〔図Ａ〕

微視的世界の運動（水素原子内電子の位置…

水素原子内電子の運動状態〔図C〕

出典　小学館　日本大百科全書(ニッポニカ)日本大百科全書(ニッポニカ)について　情報 | 凡例

<<: Bugaku mask

>>: Deep shoes - Fukuto