Norm (English spelling)

Japanese: ノルム（英語表記）norm

In general, the norm ∥x∥ (also called the magnitude) of a vector x in an n -dimensional vector space is defined as follows. x・x is the dot product of x and x . If we rewrite this using coordinates, we get
where x ₁ , x ₂ , ..., x _n are the components of vector x . This definition of norm coincides with the intuitive concept of size on a plane and in space derived by Pythagoras' theorem when n = 2 and n = 3. In other words, it is an extension of the common sense concept of size. The norm has the following properties. (1) Since x x ≧ 0, the square root of the right hand side always exists, and ∥x∥ ≧ 0. If x ≠ 0 , then ∥x∥ ≠ 0. In other words, ∥x∥ = 0 only when x = 0. (2) If a is a scalar and | a | is the absolute value of a , then ∥a x∥ = | a |· ∥x∥ . (3) Furthermore, if the two vectors are x and y , then ∥x + y∥ ≦ ∥x∥ + ∥y∥ . This is known as a trigonometric inequality. This property is satisfied _not only by the length according to the Pythagorean theorem, but also _{by ∥x∥1＝|x1} | ₊ | x2 + _...+|xn | or ∥x∥∞ ＝max{| x1 |,| _x2 |,..., |xn | _} . Therefore, these cases are also generally called norms. Furthermore _,
If we define distance as , then an n -dimensional vector space with a defined norm becomes a metric space. Norms can also be defined for function spaces, which are infinite-dimensional vector spaces.

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Japanese:

一般に，n 次元のベクトル空間のベクトル x のノルム ∥x∥ (大きさともいう) を，で定義する。 x・x は x と x の内積である。これを座標を用いて書直せば，
となる。 x₁，x₂，…，x_n はベクトル x の成分である。このノルムの定義は，n＝2 および n＝3 の場合には，ピタゴラスの定理によって導いた，平面上および空間内の直観的大きさの概念と一致する。すなわち，常識的な大きさの考え方を拡張したものである。ノルムには次の諸性質がある。 (1) x・x≧0 だから右辺の平方根は常に存在し，∥x∥≧0 である。 x≠0 ならば ∥x∥≠0 である。すなわち ∥x∥＝0 となるのは x＝0 のときに限る。 (2) a をスカラー，｜a｜を a の絶対値とするとき，∥ax∥＝｜a｜・∥x∥ である。 (3) また2つのベクトルを x ，y とするとき，∥x＋y∥≦∥x∥＋∥y∥ である。これは三角不等式として知られている。このような性質は，ピタゴラスの定理による長さ以外にも，∥x∥₁＝｜x₁｜＋｜x₂＋…＋｜x_n｜とか ∥x∥∞＝ max {｜x₁｜，｜x₂｜，…，｜x_n｜} でも満足する。それで，これらの場合も，一般にノルムという。さらに
で距離を定義すると，ノルムの定義された n 次元ベクトル空間は，距離空間になる。ノルムは無限次元のベクトル空間である関数空間にも定義することができる。

出典　ブリタニカ国際大百科事典小項目事典ブリタニカ国際大百科事典小項目事典について　情報

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