Linear Function - 1 hour function

A function expressed as y = ax + b (a ≠ 0) where a and b are constants. In particular, if the constant b is 0, y is proportional (directly proportional) to x. The constant term b represents the value of y when the value of x is 0. In addition, for the coefficient a of x, if the values ​​of y corresponding to any values ​​of x, _x1 and _x2 ( _x1 ≠ _x2 ), are _y1 and _y2 , respectively, then a is always a＝(y2 _{- y1} )/( _x2 - _x1 )
The right-hand side of this equation is called the "rate of change" (average rate of change) of the increase in y relative to the increase in x. In other words, in a linear function, the rate of change is constant and its value is equal to a.

The set of points (x, y) that satisfy the equation y = ax + b (a ≠ 0), in other words, the graph of this linear function is a straight line that passes through two points (0, b) and (1, a + b). If this line is l, then l is not parallel to either the x-axis or the y-axis. Furthermore, l slopes upward to the right when a is positive (slower to the right when a is negative), which corresponds to the fact that as x increases, y always increases (always decreases). a is called the slope (gradient) of the line l, and b is called the intercept (y-intercept). l can be thought of as the graph of y = ax translated by b along the y-axis, or -b/a along the x-axis.

Also, if the angle that l makes with the positive direction of the x-axis is α, then a＝tanα holds. For example, if the speed of sound in air at a temperature of x℃ is y meters per second, then y＝0.6x＋331 holds approximately. This is the relationship of a linear function.

[Tsuneo Uetake]

Source: Shogakukan Encyclopedia Nipponica About Encyclopedia Nipponica Information | Legend

a、bを定数とするときy＝ax＋b(a≠0)で表される関数をいう。とくに、定数bが0であれば、yはxに比例（正比例）する。定数項bは、xの値が0のときのyの値を表す。また、xの係数aについては、任意のxの値x₁、x₂（x₁≠x₂）に対応するyの値をそれぞれy₁、y₂とすれば、つねに
　　a＝(y₂－y₁)／(x₂－x₁)
が成り立つ。この右辺は、yの増加量の、xの増加量に対する「変化の割合」（平均変化率）とよばれる。すなわち、一次関数では、変化の割合が一定で、その値はaに等しい。

　方程式y＝ax＋b（a≠0）を満たす点（x，y）の集合、すなわち、この一次関数のグラフは2点(0，b)、(1，a＋b)を通る直線である。この直線をlとすれば、lはx軸にもy軸にも平行でない。また、lはaが正のときは右上がり（負のときは右下がり）となり、このことは、xが増加すれば、yがつねに増加する（つねに減少する）ことに相当する。aは直線lの傾き（勾配(こうばい)）、bは切片(せっぺん)（y切片）とよばれる。lはy＝axのグラフを、y軸の方向にbだけ平行移動したもの、あるいはx軸の方向に－b／aだけ平行移動したものと考えられる。

　また、lがx軸の正の方向とでつくる角をαとすればa＝tanαが成り立つ。たとえば、気温x℃のときの空気中の音の速さを毎秒yメートルとすれば、だいたいy＝0.6x＋331が成り立つ。これは一次関数の関係となっている。

［植竹恒男］

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