Trigonometry

Japanese: 三角法 - さんかくほう

A method of calculating geometric shapes using trigonometric ratios, which are determined by the ratios of the sides of a right-angled triangle. It has been developed since ancient times due to practical needs such as surveying, navigation, and astronomy. It can be broadly divided into plane trigonometry, which deals with problems on a flat surface, and spherical trigonometry, which deals with problems on a spherical surface, but since spherical trigonometry is covered in a separate section, we will explain plane trigonometry here.

For a right-angled triangle like that shown in Figure A , the six trigonometric ratios are defined as follows.

Here, the angles are limited to 0° < A < 90°. Trigonometric functions are an extension of this to general angles. To generally investigate the properties of triangles, function values defined at least for obtuse angles are necessary. In what follows, trigonometric ratios will be treated as trigonometric functions, defined for all general angles. For some angles, the values of trigonometric ratios can be easily calculated using the properties of shapes ( Table 1 ).

[Osamu Takenouchi]

Sine law, cosine law

These are theorems that form the basis of calculations. Let A, B, and C represent the sizes of the three angles of triangle ABC, and a , b , and c represent the lengths of sides BC and CA, and AB. These are called the six elements of a triangle. Using the properties of triangles, the theorems listed in Table 2 hold true. In addition, the area formula, Heron's formula, and formulas for the sine and cosine of half angles are also well known. As shown below, when any three of the six elements of triangle ABC are given, the shape of the triangle is determined by them, and the other three elements can be calculated from them ( Figure B ). This is called solving the triangle. Triangulation is the continuation of this method.

(1) When two angles and an included side are given, assume that angles B and C and the side a between them are given. A = 180° - ( B + C ), and b and c can be found by applying the sine theorem.

(2) When two sides and an included angle are given. Suppose two sides b and c and the angle A between them are given. The value of a can be found using the second cosine theorem, so this reduces to the case of three sides:

(3) Three sides are given. Given the three sides a , b , and c , the three angles can be found using the formula for finding the sine and cosine of half angles.

[Osamu Takenouchi]

History of Trigonometry

Trigonometry has ancient origins, and around 150 B.C., the Greek astronomer Hipparchus is said to have created a table of the angles and chords of circles, but this table no longer exists. Around 150 B.C., Ptolemy created a table of the lengths of chords corresponding to the central angle of a circle in increments of 0.5 degrees. In Figure C , if the radius of the circle is 1, then a = 2sin( α /2), so this is a table of sines. Research on this was driven by the practical needs of navigation, and detailed tables were created one after another. After developing in India and Arabia, trigonometry was reimported to Europe around the 12th century and continued to develop further. At the end of the 15th century, Regimontanus created detailed tables of sines and tangents, and gave trigonometry the form it has taken to this day, systematically developing it. The sine theorem also appears in this table, but the cosine theorem was derived by Vieta at the end of the 16th century.

[Osamu Takenouchi]

[Reference] | Spherical trigonometry | Trigonometric functions

Trigonometry (Right-angled triangle) [Figure A]
©Shogakukan ">

Trigonometry (Right-angled triangle) [Figure A]

Trigonometry (values of trigonometric ratios) [Table 1]
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Trigonometry (values of trigonometric ratios) [Table 1]

Trigonometry (theorems using the properties of triangles) [Table 2]
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Trigonometry (Theorems Using the Properties of Triangles) (Table…

Trigonometry (six elements of a triangle) [Figure B]
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Trigonometry (six elements of a triangle) [Figure B]

Trigonometry (size of central angle of a circle and length of chord) [Figure C]
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Trigonometry (size of central angle of circle and length of chord)…

Source: Shogakukan Encyclopedia Nipponica About Encyclopedia Nipponica Information | Legend

Japanese:

直角三角形の辺の比によって決まる三角比を用いて、図形に関する計算をする方法。測量、航海、天文などの実用上の必要により、古くから発展した。大別して、平面上の問題を扱う平面三角法と、球面上の問題を扱う球面三角法に分かれるが、「球面三角法」は別項目で扱うので、ここでは平面三角法について説明する。

　図Aのような直角三角形において、次のように6種の三角比を定める。

ここでは角が0゜＜A＜90゜と局限されている。これを一般角にまで拡張したものが三角関数である。三角形の性質を一般的に調べるためには、少なくとも鈍角に対してまで定義された関数値が必要である。以下では、三角比は三角関数として、すべての一般角について定義されているものとして扱う。いくつかの角については、三角比の値は、図形の性質を用いて容易に計算される（表1）。

［竹之内脩］

正弦定理、余弦定理

これらは計算の基礎となる定理である。いま、三角形ABCの三つの角の大きさをA、B、C、辺BC、CA、ABの長さをa、b、cで表す。これらを三角形の六要素という。三角形の性質を用いて表2にあげたような定理が成り立つ。このほか面積公式、ヘロンの公式、半角の正弦・余弦を表す公式もよく知られている。次のように、三角形ABCの六つの要素のうち適当な三つが与えられると、三角形の形状がそれによって定まり、他の三つの要素はそれらから計算される（図B）。これを、三角形を解くという。三角測量は、この方法を継続して行っていくものである。

(1)2角と夾辺(きょうへん)が与えられている場合。角B、角Cとその間の辺aが与えられているとする。A＝180゜－(B＋C)であり、b、cは正弦定理の適用により求められる。

(2)2辺と夾角が与えられている場合。2辺b、cとその間の角Aが与えられているとする。第二余弦定理によりaの値が求められるから、次の3辺の場合に帰する。

(3)3辺が与えられている場合。3辺a、b、cが与えられると、半角の正弦、余弦を求める公式によって三つの角が求められる。

［竹之内脩］

三角法の歴史

三角法の起源は古く、紀元前150年ころギリシアの天文学者ヒッパルコスにより円の角と弦の表がつくられたというが、現存しない。150年ころプトレマイオスは、円の中心角の大きさ0.5度おきに対応する弦の長さの表をつくった。これは、図Cにおいて、円の半径を1とするとa＝2sin(α/2)であるから、正弦の表である。これは航海での実際上の必要性から研究が進み、その詳しい表が次々とつくられた。インド、アラビアにおける発展を経て12世紀ころからヨーロッパに再輸入された三角法は、さらに発展を続けた。15世紀末レギモンタヌスは、正弦、正接の詳細な表をつくり、また現代に至る形式を三角法に与え、その系統的展開を行った。正弦定理もこのなかに現れるが、余弦定理は16世紀末ビエタによって得られた。

［竹之内脩］

[参照項目] | 球面三角法 | 三角関数

三角法（直角三角形）〔図A〕

三角法（三角比の値）〔表1〕

三角法（三角形の性質を用いた定理）〔表…

三角法（三角形の六要素）〔図B〕

三角法（円の中心角の大きさと弦の長さ）…

出典　小学館　日本大百科全書(ニッポニカ)日本大百科全書(ニッポニカ)について　情報 | 凡例

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