Analytical mechanics

Japanese: 解析力学 - かいせきりきがく

It is a branch of physics systematized with the aim of broadly understanding the movement of objects based on the fundamental laws of mechanics, i.e., the laws of motion, and often takes a mathematical form.

Newton's mechanics tells us how momentum (velocity x mass) changes when a point mass is subjected to the action of a force. Newton detailed his laws in his famous work, Principia, but his method of description was geometric. Starting from Newton's laws of motion, we can derive the equations of motion for not only a system of mass points, which is a collection of mass points, but also for continuums such as rigid bodies, elastic bodies, and fluids, by considering them as systems of an infinite number of mass points. As a result, a general system of mechanics was created that covers the mechanical motion of both mass points, systems of mass points, and continuums. Unlike Principia, this general system of mechanics mainly uses methods of differential and integral calculus, and is therefore called analytical mechanics. Since the laws of electromagnetism can also be rewritten into the equations of motion of analytical mechanics, the completion of analytical mechanics is not simply a mathematical generalization of Newton's laws of motion, but leads to the discovery of general laws for mass points, continuums, and electromagnetic fields. In fact, the theory of light propagation is used to formulate the theory of analytical mechanics.

[Hajime Tanaka]

Generalized coordinates and momentum

The velocity of a mass multiplied by its mass is called momentum, and is often represented by p . If Newton's second law of motion, which states that the acceleration of a mass multiplied by its mass is equal to the external force f , is written in terms of the coordinates x and momentum p of the mass, the second law of motion takes the form dp / dt = f , which does not include the mass of the mass at all. In other words, the second law of motion rewritten in this form becomes a form that is independent of the type of mass. The mechanical variables of coordinates and momentum in this case are a special pair of mechanical variables that make the law of motion a form that is independent of the attributes of the mass, i.e., the mass. By the way, the theory of analytical mechanics is general, but if the attributes of individual mechanical systems (such as the mass of a mass) appear in this theory, the generality of the theory will be lost. As mentioned above, the equivalents of the coordinates and momentum of a mass can be generally defined for the mechanical systems that are the subject of analytical mechanics. These are called the generalized coordinates q _r and the generalized momentum p _r . There are usually multiple sets of these dynamical variables, and they are distinguished by adding subscripts.

As already mentioned, the coordinate x and momentum p are mechanical variables in a special relationship, but the relationship between _the generalized coordinate qr and the generalized momentum pr _is similar, and these are called canonical conjugate mechanical variables, or canonical variables.

[Hajime Tanaka]

Lagrangian and Hamiltonian equations of motion

Every mechanical system has physical quantities that describe the entire contents of the mechanical system. In analytical mechanics, general equations of motion are derived from these physical quantities. When actually solving a mechanical system, these physical quantities are expressed as functions that are determined for each mechanical system, and the equations of motion in analytical mechanics derived from these functions are then solved.

Functions of this type include the Lagrangian function L and the Hamiltonian function H. The Lagrangian _function L is given by subtracting the potential energy V from the kinetic energy T of a dynamical system, T - V , as a function of the generalized coordinates qr and their change over time dqr / dt . _dqr / dt is written simply as _r . The equation _of motion in this case is called the Lagrangian equation of motion, and is a differential equation in generalized coordinates.

In contrast, the energy T + V of a mechanical system expressed in generalized _coordinates qr and generalized momentum pr _is called the Hamilton function H. In this case, the equation of motion is in the form of simultaneous differential equations of qr _and pr _, and is called Hamilton's equation of motion. The special relationship between _the canonical conjugate mechanical variables qr and pr _, and the time change of any physical quantity (including qr _and pr ₎ that is a function of qr _and pr , can all be expressed using a quantity called Poisson's brackets _, which will be described later. In addition, this relational equation also holds true in quantum mechanics by simply changing the definition of Poisson's brackets. As already mentioned, this is interesting because it shows that the same form of equation of motion holds for a system of particles and their collections, and for light as a wave, in other words, that there is a universal law common to both particles and light. Next, Lagrange's equation of motion and Hamilton's equation of motion are shown.

(1) Lagrange's equation of motion

(2) Hamilton's equation of motion

The Poisson brackets for F and G are as follows:

The canonical conjugate relationship is the following pair of equations: ₍ qr , pr ) ₌ _{1, (qr} , ps ) ₌ 0
where r ≠ s
( q _r , q _s )=0, ( p _r , p _s )=0
r and s are arbitrary, and the change in time of a physical quantity F can be expressed as ( dF / dt ) = ( F , H ).

[Hajime Tanaka]

"Analytical Mechanics by Koide Shoichiro (1983, Iwanami Shoten)" ▽ "Analytical Mechanics by Namiki Mikio (1991, Maruzen)" ▽ "Analytical Mechanics 1 & 2 by Yamamoto Yoshitaka and Nakamura Koichi (1998, Asakura Shoten)" ▽ "Analytical Mechanics by Kubo Kenichi (2001, Shokabo)" ▽ "An Introduction to Analytical Field Mechanics for the Study of Quantum Fields, Revised and Expanded Second Edition by Takahashi Yasushi and Kashiwa Taro (2005, Kodansha)"

Source: Shogakukan Encyclopedia Nipponica About Encyclopedia Nipponica Information | Legend

Japanese:

力学の基本法則すなわち運動の法則に基づいて物体の運動を広く理解することを目的として体系化された物理学の一分科で、多くは数学的な形式をとっている。

　ニュートンの力学は、質点が力の作用を受けたとき、どのようにその運動量（速度×質量）が変わるかを与える。ニュートンは、その法則を彼の有名な著作『プリンキピア』のなかで詳しく述べたが、その叙述の方法は幾何学的であった。ニュートンの運動の法則から出発すると、質点の集まりである質点系に対してだけでなく、剛体や弾性体・流体などの連続体をも質点が無限個集まった系とみなすことによって、これらの系の運動方程式を導くことができる。その結果、質点と質点系および連続体のいずれの力学的な運動をも対象とする一般的な力学の体系ができあがってきた。『プリンキピア』と異なり、この一般的な力学の体系では、微分積分学の手法をおもに用いているため、解析力学とよばれている。電磁気学の法則も解析力学の運動方程式に書き換えることができるので、解析力学の完成は、ニュートンの運動の法則の単なる数学的一般化ではなく、質点と連続体および電磁場に対する一般的な法則の発見につながるものである。実際、解析力学の理論の形成には、光の伝播(でんぱ)の理論の形式が用いられている。

［田中　一］

一般化座標と運動量

質点の速度に質量を掛けたものを運動量といい、pで表すことが多い。ニュートンの運動の第二法則、すなわち、質点の加速度に質点の質量を掛けたものが、外から加える力fに等しいという運動法則を、質点の座標xと運動量pで書き表せば、運動の第二法則は、質点の質量をまったく含まない形dp/dt＝fになる。いいかえれば、この形に書き換えた運動の第二法則は、質点の種類に無関係な形になる。この場合の座標と運動量という力学変数は、運動の法則を、質点の属性、すなわち質量に無関係な形にする特別な1組の力学変数である。ところで、解析力学の理論は一般的なものであるが、もしこの理論のなかに、個々の力学系の属性（たとえば質点の質量など）が表れていると、理論の一般性を失うことになる。以上のように、質点の座標や運動量に相当するものを、解析力学の対象とする力学系に対して一般的に定義することができる。これを一般化座標q_rおよび一般化運動量p_rという。これらの力学変数は複数組あるのが普通であって、添え字をつけてこれらを区別する。

　座標xと運動量pとは、すでに述べたように特別の関係にある力学変数であるが、一般化座標q_rと一般化運動量p_rとの間の関係も同様であって、これを互いに正準共役(きょうやく)な力学変数、または正準変数という。

［田中　一］

ラグランジュ運動方程式とハミルトン運動方程式

どの力学系にも、力学系の全内容を示す物理量がある。解析力学ではこの種の物理量から一般的な運動方程式を導いている。力学系を実際に解く場合には、この種の物理量を力学系ごとに定まる関数で表し、それから導かれる解析力学の運動方程式を解けばよい。

　この種の関数にはラグランジュ関数Lとハミルトン関数Hとがある。ラグランジュ関数Lは、力学系の運動エネルギーTからポテンシャルエネルギーVを減じたT－Vを、一般化座標q_rとその時間変化dq_r/dtの関数として与えたものである。dq_r/dtのことを簡単に_rと書く。この場合の運動方程式をラグランジュの運動方程式といい、一般化座標の微分方程式となっている。

　これに対して、力学系のエネルギーT＋Vを一般化座標q_rと一般化運動量p_rで表現したものを、ハミルトン関数Hという。この場合の運動方程式はq_rとp_rの連立微分方程式の形をしており、ハミルトンの運動方程式という。正準共役な力学変数q_rとp_rとの間の特別な関係およびq_rとp_rの関数である任意の物理量（q_rとp_rを含む）の時間変化は、いずれも後述のポアソンの括弧(かっこ)式という量を用いて書き表すことができる。また、このときの関係式は、ポアソンの括弧式の定義を変えただけで量子力学にもそのまま成り立つ。このことは、すでに述べたように、解析力学では粒子とその集まりの系にも、また波動としての光にも同一の形式の運動方程式が成り立つこと、すなわち粒子と光の双方に共通する普遍的な法則が存在することを示していて興味深い。次にラグランジュの運動方程式とハミルトンの運動方程式を示しておく。

(1)ラグランジュの運動方程式

(2)ハミルトンの運動方程式

なお、FとGとのポアソンの括弧式は、

正準共役な関係は、次の1組の式で
　　(q_r, p_r)＝1, (q_r, p_s)＝0
　　ただしr≠s
　　(q_r, q_s)＝0, (p_r, p_s)＝0
　　r, sは任意
また物理量Fの時間変化は(dF/dt)＝(F, H)で表すことができる。

［田中　一］

『小出昭一郎著『解析力学』（1983・岩波書店）』▽『並木美喜雄著『解析力学』（1991・丸善）』▽『山本義隆・中村孔一著『解析力学1・2』（1998・朝倉書店）』▽『久保謙一著『解析力学』（2001・裳華房）』▽『高橋康・柏太郎著『量子場を学ぶための場の解析力学入門』増補第2版（2005・講談社）』