Class field theory

Class field theory is the general theory of abelian extensions over algebraic number fields, i.e. extension fields whose Galois groups are abelian groups. It thus specifically includes the theory of cyclotomic fields, which are abelian extensions over the field of rational numbers, and the theory of quadratic extensions, which is the theory of quadratic extensions.

The concept of class fields was introduced by Hilbert in 1898. A Galois extension K of an algebraic number field k is said to be a class field of k if and only if the linear prime ideals of k (i.e., prime ideals whose absolute norm is prime) are monomial ideals and can be decomposed into products of linear prime ideals of K. This Hilbert class field is now called an absolute class field. When K is an absolute class field of k, the following theorem holds: (1) K is an abelian extension over k, and its Galois group is isomorphic to the ideal class group of k. (2) K is a maximally unramified abelian extension over k. (3) Let P be a prime ideal of k and f be the smallest natural number for which P ^f is a monomial ideal, then P in K satisfies P=P ₁ ……P _g ,f _g =［K:k］
It is decomposed into a prime ideal as follows.

These were conjectured by Hilbert, and solved by Philipp Furtwängler (1869-1940) in 1907. Takagi Teiji extended the idea of ​​absolute class fields to general Abelian extensions, and proved the Fundamental Theorem of Class Field Theory (1920), which corresponds to the above theorems. Later, Artin discovered the general law of reciprocity and completed the theory of Abelian fields. Class field theory was the first international contribution to mathematics by a Japanese person, and it occupies a special place in modern mathematics due to the beauty of its system.

[Tsuneo Adachi]

Source: Shogakukan Encyclopedia Nipponica About Encyclopedia Nipponica Information | Legend

代数体上のアーベル拡大、すなわちガロア群がアーベル群であるような拡大体の一般論が類体論である。したがって、とくに有理数体上のアーベル拡大である円分体論や二次拡大の理論である平方剰余の理論を包含する。

　類体という概念はヒルベルトによって1898年に導入された。代数体kのガロア拡大Kがkの類体であるとは、kの一次素イデアル（すなわち絶対ノルムが素数となる素イデアル）が単項イデアルである場合、またその場合に限ってKの一次の素イデアルの積に分解されるときである。このヒルベルトの類体は現在は絶対類体とよばれている。kの絶対類体をKとするとき、次のような定理が成り立つ。(1)Kはk上アーベル拡大で、そのガロア群はkのイデアル類群に同形である。(2)Kはk上の最大不分岐アーベル拡大である。(3)Pをkの素イデアルとし、fをP^fが単項イデアルとなる最小自然数とすると、KにおいてPは
　　P=P₁……P_g，f_g=［K:k］
　と素イデアル分解される。

　これらをヒルベルトが予想し、フルトベングラーPhilipp Furtwängler（1869―1940）が1907年に解決した。高木貞治(ていじ)は絶対類体の考えを一般アーベル拡大にまで拡張し、前記の諸定理に対応する類体論の基本定理を証明した（1920）。その後アルティンは一般相互法則をみつけ、アーベル体論を完成した。類体論は日本人による最初の数学上の世界的貢献であるとともに、その体系の美しさにより現代数学のなかでも特別の位置を占めている。

［足立恒雄］

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