Intuitionism

It is a position on the foundations of mathematics. In contrast to formalism, which regards mathematics as merely a formal system of logical deduction, intuitionism is based on the idea that mathematical truths and objects can be grasped directly through the meaning and content of thinking about mathematics. Early pioneers of intuitionism include L. Kronecker and H. Poincaré. The first person to attempt to fundamentally reconstruct mathematics in an intuitionistic way was Luitzen Egbertus Jan Brouwer (1881-1966). He engaged in fierce debate with Hilbert, who advocated formalism. Today, the term intuitionism often refers to a branch of mathematics that follows in the tradition of Brouwer.

In 1908, Brauer criticized the laws of classical logic that had existed since Aristotle. He did not accept the law of the excluded middle, which holds that "either A or the negation of A is true" is true for all propositions A. For example, consider proposition M, the law of the excluded middle, which holds that "in a set S, there is either an element with property P or there is not." Let us assume that it is possible to determine whether each element in set S has property P or not. If S is a finite set, it is possible to exhaustively examine whether each element in S has property P, and it is clear that M is true. However, when S is an infinite set, the situation is different even for such P. In other words, it is not possible to exhaustively examine whether each of the infinite elements in S has property P or not. If we check and find an element with property P, proposition M will be proven. However, if we have not yet found such an element, we cannot know whether there is no element with property P in S, or whether there is an element with property P but we have not yet found it. Brauer believes that the law of the excluded middle, "A or the negation of A," is true only when either A or the negation of A is known to be true, and does not accept the law of the excluded middle as a universally valid law of logic in the case of the infinite set S mentioned above. Similarly, he accepts that "an object with given properties exists" is proven only when such an object is found or a method for constructing such an object is given. Therefore, he does not accept proofs that indirectly derive "existence" from the assumption that "it does not exist" by inducing a contradiction. This leads to a refusal to derive A from the negation of the negation of proposition A (double negation). This way of thinking was subsequently accepted by many mathematicians.

Brauer developed analysis and set theory from an intuitionist standpoint, but his ideas were very different from traditional mathematics and too complicated to be applied to actual mathematical theory. However, his ideas played an important role in the study of the foundations of mathematics. Furthermore, the logic he used was later organized as intuitionist logic and remains an important research subject today. French scholars such as Borel and Lebesgue also criticize mathematics from an intuitionist standpoint, but because they incorporate empirical thinking into their analysis of the concepts that underlie their arguments, they are known as semi-intuitionists or French empiricists.

[Toshio Nishimura]

Source: Shogakukan Encyclopedia Nipponica About Encyclopedia Nipponica Information | Legend

数学の基礎に関する一つの立場である。数学を単に形式的な論理的演繹(えんえき)体系とみなす形式主義に対し、直観主義では、数学的真理や対象が、数学を考えていく意味や内容によって直接にとらえられるものであるという考えにたつ。直観主義の先駆者としては、古くはL・クロネッカーとH・ポアンカレをあげることができる。数学を根本から直観主義的に再構成しようと最初に試みたのはブラウアーLuitzen Egbertus Jan Brouwer（1881―1966）である。彼は形式主義を掲げるヒルベルトと激しく論争を続けた。現在、直観主義という語は、このブラウアーの伝統を引く数学の一分野をさすことが多い。

　ブラウアーは1908年に、アリストテレス以来の古典論理の法則に批判を投げかけた。彼は、「AかAの否定が成り立つ」ことをすべての命題Aについて正しいとする排中律を認めない。たとえば、排中律「集合Sには、性質Pをもつ元が存在するか存在しないかいずれかである」という命題Mを考える。いま、集合Sのおのおのの元について、それが性質Pをもつか否かを決定できるものと仮定しよう。Sが有限集合ならば、Sの各元について性質Pをもつかどうかを調べ尽くすことができ、Mが成り立つことがわかる。しかし、このようなPについても、Sが無限集合のときには事情が違う。すなわち、Sの無限個の各元が性質Pをもつか否かを調べ尽くすことはできない。確かめていって、性質Pをもつ元をみつければ、命題Mは実証される。しかし、そのような元をまだみつけていないときには、Sには性質Pをもつ元が存在しないのか、あるいは、存在するのにまだみつけていないのかを知ることはできない。ブラウアーは、排中律「AかAの否定」は、AかAの否定のうちのどちらか一方が正しいことがわかったときにのみ正しいのであって、前出の無限集合Sの場合には、排中律を、論理の普遍的に正しい法則としては認めない。同様に、「与えられた性質をもつ対象が存在する」ということは、そのような対象をみつけるか、あるいはそのような対象を構成する方法が与えられたときにだけ証明されたものと認める。したがって、「存在しない」という仮定から矛盾を導いて「存在する」ことを間接的に導くような証明を認めない。これは、命題Aの否定の否定（二重否定）からAを導くことを拒否することにつながる。こうした考え方は、その後多くの数学者たちからも受け入れられた。

　ブラウアーは、直観主義の立場から、解析学や集合論を展開したが、従来の数学とは非常に違い、また実際の数学の理論に適用するにはあまりにも複雑なものとなった。しかし、彼の考え方は、数学の基礎の研究には重要な役割を演じた。また、彼の用いた論理は、その後、直観主義論理として整理され、現在も重要な研究対象である。フランスのボレルやルベーグらも、直観主義的立場からの数学批判をする学者であるが、その議論の基礎にある諸概念の分析に、経験主義的な考え方をも取り入れているので、半直観主義とかフランス経験主義とかよばれている。

［西村敏男］

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