Transfinite induction

Japanese: 超限帰納法 - ちょうげんきのうほう（英語表記）transfinite induction

For a proposition P (α) numbered by an ordinal number α, if P (ξ) holds for ξ<α, then P (α) can be proved by proving P (ξ). This is a generalization of mathematical induction for natural numbers. To number by α, one must create a well-ordered set using the axiom of choice (→ Zermelo's axioms), but it is more common to prove a proposition P(α) using the axiom of choice or an equivalent lemma rather than using transfinite induction directly.

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Japanese:

順序数αで番号づけられた命題 P(α)について，ξ＜αについて P (ξ) が成立すれば，P (ξ) を証明することによって P (α) を証明する方法。自然数についての数学的帰納法を一般化したものである。αで番号づけるために，選択公理 (→ツェルメロの公理 ) を使って整列集合をつくらなければならないが，超限帰納法を直接使わないで，選択公理またはそれと同値な補題を使って証明することのほうが多い。

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