Algebra - algebra

There is a ring R that is also a finite-dimensional vector space over a commutative field k, and (*) λ∈k,a,b∈R
When λ(ab)=(λa)b
When this holds, R is called an algebra over a commutative field k. As a handy example, consider M ₂ , the set of quadratic matrices over the field of real numbers k. M ₂ is a ring, while multiplication of a matrix A by a real number λ is also defined. _{M 2} is a four-dimensional vector space over the field of real numbers, and the property (*) also holds. The same holds for M _n , the set of n-th order matrices over the field of real numbers k. As another handy example, consider C, the set of complex numbers. C is a two-dimensional vector space over the field of real numbers k. In the case of M ₂ , the set of quadratic matrices, M ₂ is not a field, but the set of complex numbers is a field.

When an algebra is a field, it is called a multiplicity. A famous example of a multiplicity is Hamilton's quaternion field. Just as complex numbers are defined as numbers expressed as a+bi (a and b are real numbers) with the operation i ² =-1 for the symbol i, we can also define i ² =j ² =k ² =-1, ij=-ji=k,
jk=-kj=i, ki=-ik=j
The following operation is set: a+bi+cj+dk (a,b,c,d are real numbers)
This defines a number that can be expressed as follows. This is called Hamilton's quaternion. The set of Hamilton's quaternions is a four-dimensional multiplier over the real number field k. Just as complex numbers are new numbers that are an extension of real numbers, Hamilton's quaternions are new numbers that are a further extension of complex numbers. However, it is important to note that multiplication is non-commutative. So, is it possible to extend this quaternion further to create a multiplier? Interestingly, this is no longer possible. In other words, it has been proven that "(finite-dimensional) multipliers over the real number field are limited to the real number field, the complex number field, and the quaternion field."

[Terada Fumiyuki]

Source: Shogakukan Encyclopedia Nipponica About Encyclopedia Nipponica Information | Legend

環Rがあり、それが可換体k上の有限次元のベクトル空間にもなっていて
　　（＊）　λ∈k,a,b∈R
のとき
　　λ(ab)=(λa)b
が成り立つとき、Rを可換体k上の多元環という。手近な例としては、実数体k上の二次の行列全体M₂を考えるとよい。M₂は環であり、一方、実数λを行列Aに掛けることも定義されている。M₂は実数体上の四次元のベクトル空間であり、特性（＊）も成り立っている。実数体k上のn次の行列全体M_nも同様である。また別の手近な例としては、複素数の全体Cを考えればよい。Cは実数体k上の二次元ベクトル空間である。二次の行列全体M₂の場合には、M₂は体ではないが、複素数の全体は体である。

　多元環が体であるとき、多元体とよばれる。多元体として有名な例はハミルトンの四元数体である。複素数を記号iにi²=-1という演算を設けてa+bi（a、bは実数）と表される数として定義したように、記号i、j、kに
　　i²=j²=k²=-1, ij=-ji=k,
　　　jk=-kj=i, ki=-ik=j
という演算を設け
　　a+bi+cj+dk （a,b,c,dは実数）
と表される数を定義する。これをハミルトンの四元数という。ハミルトンの四元数の全体は実数体k上の四次元の多元体である。複素数が実数を拡張した新しい数であるように、ハミルトンの四元数は複素数をさらに拡張した新しい数である。しかし乗法は非可換であることに注目したい。それでは、この四元数をさらに拡張して、多元体をつくることはできないか。興味あることに、もはやそれはできない。すなわち「実数体上の（有限次元の）多元体は、実数体、複素数体、四元数体に限ること」が証明されている。

［寺田文行］

出典　小学館　日本大百科全書(ニッポニカ)日本大百科全書(ニッポニカ)について　情報 | 凡例