Gathering - Shuugou

Japanese: 集合 - しゅうごう

When clearly defined objects such as desks and chairs in a classroom or the natural numbers from 1 to 50 are considered as a whole, they are called a set of those objects, and those objects are called elements or elements of that set. When a is an element of set A, we write a∈A, and say that a belongs to A or that A contains a. The objects that make up a set can be real objects such as desks and chairs, or imaginary objects thought up in one's mind. A set made up of a finite number of elements is called a finite set. In contrast, the set of natural numbers 1, 2, 3, ... and all the points on a line are all sets, but these sets have an incalculable number of elements. A set that contains such an infinite number of elements is called an infinite set. The number of elements in a set is called the cardinality. There are two ways to define a set. One is to list the elements of the set as a, b, c, .... This set is written as {a, b, c, ...}. The other is to consider all things that have a certain property as a set when that property is given. The set of n that has the property "n is a natural number" is the set of all natural numbers. When there is no object with this property, this property gives a set that contains no elements. A set that contains no elements is called the empty set, and is often represented by the symbol ∅. For two sets A and B, when every element of A is also an element of B, set A is said to be a subset of set B, and is written as A ⊂ B. For every set A, ∅ ⊂ A. When A is a subset of B (A ⊂ B) and B is a subset of A (B ⊂ A), that is, when the elements of A and B are the same, A and B are said to be equal, and are written as A = B.

[Toshio Nishimura]

Set Operations

When A and B are sets, the set of elements that belong to at least one of A and B is called the union or union of A and B, and is written as A∪B (① in the figure ). The set of elements that belong to both A and B is called the intersection of A and B, and is written as A∩B (② in the figure ). When A={1, 2, 3, 4} and B={2, 3, 5}, A∪B={1, 2, 3, 4, 5} and A∩B={2, 3}. When considering only a subset of a set U, set U is called a universal set. For example, when considering only the set of real numbers, the set of all real numbers is the universal set, and when considering only the set of points on a plane, the set of all points on the plane is the universal set. Let U be the universal set and A be its subset. The set of elements of U that do not belong to A is called the complement of A, and is written as A', etc. (③ in the figure ). In this case, the following relationship holds.

(1) A ∪ A′ = U, A ∪ ∅ = A
(2) A∪A＝A (absorption law)
(3) A∪B=B∪A (commutative law)
(4) (A∪B)∪C=A∪(B∪C) (association law)
(5) A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C) (distribution law)
(6) (A∪B)′＝A′∩B′ (De Morgan’s Law)
The following relationship also holds:

(1)′A∩A′＝∅, A∩U＝A
(2)′A∩A＝A
(3)′A∩B＝B∩A
(4)′(A∩B)∩C＝A∩(B∩C)
(5)′A∪(B∩C)＝(A∪B)∩(A∪C)
(6)′(A∩B)′＝A′∪B′
The following relationship exists between these two sets of operation laws (k) and (k)'. That is, if the symbols ∩, ∪, U, and ∅ in (k) are replaced with ∪, ∩, ∅, and U, respectively, it becomes (k)'. The reverse also holds. This is called the principle of duality. For two sets A and B, the set (a, b) where a∈A and b∈B is called the (direct) product of A and B, and is written as A×B. When A＝{1, 2} and B＝{a, b, c},
A×B={(1, a), (1, b), (1, c), (2, a), (2, b), (2, c)}
When X and Y are both sets of all real numbers, X×Y is the set of all pairs of real numbers s and t (s, t), which can be thought of as the set of all coordinates of points on a plane (④ in the diagram ). A set consisting of all the subsets of a set A is called the power set of A. When A＝{1, 2}, the power set of A is {∅,{1},{2},{1, 2}}.

[Toshio Nishimura]

"Arithmetic and Sets" by Yoshikazu Kobayashi (1972, Toyokan Publishing)" ▽ "Sets" by Kentaro Yano (1973, Kyoritsu Publishing)" ▽ "The Story of Sets" by Vilenkin, translated by Yasumitsu Shibaoka (1975, Tokyo Tosho)" ▽ "Sets and Logic" by Tsutomu Hosoi (1982, Kyoritsu Publishing)

[Reference] | Set theory

Collection (figure)
©Shogakukan ">

Collection (figure)

Source: Shogakukan Encyclopedia Nipponica About Encyclopedia Nipponica Information | Legend

Japanese:

教室の机や椅子(いす)とか、1から50までの自然数のようにはっきり定義されたものを一つの全体として考えたものを、それらの対象の集合といい、それらの対象をその集合の元(げん)とか要素という。aが集合Aの元であることをa∈Aと書き、aはAに属するとか、Aはaを含むという。集合をつくる対象は、机や椅子のように実在しているものでもよいし、頭のなかで架空的に考えられたものでもよい。有限個の元からできている集合を有限集合という。それに対して、自然数1、2、3、……の全体、直線上の点の全体はいずれも集合であるが、これらの集合はその元を数えきることができない。このような無限個の元を含む集合を無限集合という。集合の元の個数を濃度という。一つの集合を定義するのには2通りの方法がある。一つは、集合の要素をa、b、c、……のように列記する方法である。この集合を｛a, b, c,……｝と書く。もう一つは、ある性質が与えられたとき、その性質をもっているもの全体を一つの集合とする方法である。「nは自然数である」という性質をもつnの全体は自然数全体の集合ということになる。その性質をもつような対象がないとき、この性質は、元を一つも含まない集合を与えることになる。元をまったく含まない集合を空集合(くうしゅうごう)といい、しばしば∅という記号で表す。二つの集合AとBについて、Aのどの元も同時にBの元であるとき、集合Aは集合Bの部分集合であるといい、A⊂Bと書く。どの集合Aについても∅⊂Aである。AがBの部分集合(A⊂B)で、同時にBがAの部分集合(B⊂A)であるとき、すなわちAとBの元が同じとき、AとBは等しいといい、A＝Bと書く。

［西村敏男］

集合演算

AとBを集合とするとき、AかBの少なくとも一方に属する元の全体をAとBの和集合とか合併集合といい、A∪Bと書く（図の①）。AとBの両方に属する元の全体をAとBの共通集合といい、A∩Bと書く（図の②）。A＝｛1, 2, 3, 4｝、B＝｛2, 3, 5｝のとき、A∪B＝｛1, 2, 3, 4, 5｝、A∩B＝｛2, 3｝である。ある集合Uの部分集合だけを考えるとき、集合Uを全体集合という。たとえば、実数の集合だけを考えるときには、実数全体の集合が全体集合であり、平面上の点集合だけを考えるときは、平面上の点全体の集合が全体集合である。Uを全体集合とし、Aをその部分集合とする。Aに属さないUの元の全体をAの補（余）集合といい、A′などと書く（図の③）。このとき次の関係が成り立つ。

(1) A∪A′＝U, A∪∅＝A
(2) A∪A＝A（吸収法則）
(3) A∪B＝B∪A（交換法則）
(4) (A∪B)∪C＝A∪(B∪C)（結合法則）
(5) A∩(B∪C)＝(A∩B)∪(A∩C)（分配法則）
(6) (A∪B)′＝A′∩B′（ド・モルガンの法則）
また次の関係も成り立つ。

(1)′A∩A′＝∅, A∩U＝A
(2)′A∩A＝A
(3)′A∩B＝B∩A
(4)′(A∩B)∩C＝A∩(B∩C)
(5)′A∪(B∩C)＝(A∪B)∩(A∪C)
(6)′(A∩B)′＝A′∪B′
これら2組みの演算法則(k)と(k)′の間には次の関係がある。すなわち、(k)の記号∩、∪、U、∅をそれぞれ∪、∩、∅、Uで置き換えると(k)′になる。またこの逆も成り立つ。これを双対の原理(そうついのげんり)という。二つの集合AとBについて、a∈Aでb∈Bである対(a, b)の全体をAとBの（直）積集合といい、A×Bと書く。A＝｛1, 2｝、B＝｛a, b, c｝であるとき、
　　A×B＝｛(1, a), (1, b), (1, c), (2, a), (2, b), (2, c)｝
である。XとYをともに実数全体の集合とするとき、X×Yは、実数s、tの対(s, t)の全体となり、これは平面上の点の全体の座標の集合と考えることができる（図の④）。集合Aの部分集合の全体からなる集合をAのべき集合という。A＝｛1, 2｝のとき、Aのべき集合は｛∅,｛1｝,｛2｝,｛1, 2｝｝である。

［西村敏男］

『小林善一著『算数と集合』（1972・東洋館出版社）』▽『矢野健太郎著『集合』（1973・共立出版）』▽『ヴィレンキン著、柴岡泰光訳『集合の話』（1975・東京図書）』▽『細井勉著『集合・論理』（1982・共立出版）』

[参照項目] | 集合論

集合〔図〕

出典　小学館　日本大百科全書(ニッポニカ)日本大百科全書(ニッポニカ)について　情報 | 凡例

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