Isolated point

Japanese: 孤立点 - こりつてん（英語表記）isolated point

(1) Let S be a topological space, M be a subset of it, and M ' be the derived set of M. If a point p of M is not included in M ', that is, if p ∈ M and p ∉ M ', then point p is called an isolated point of M , and a set consisting of only isolated points is called a discrete set. (2) Let M be all the points on a plane curve f ( x , y ) = 0. If there is no other point on M with f ( x , y ) = 0 in the vicinity of point p , then point p is said to be an isolated point of the curve. In other words, it is a point that is isolated from the curve, but whose coordinates satisfy the equation of the curve. For example, ^if a < 0 on the ^curve y2 - x2 ( x + a ) = 0, then the origin (0,0) is a point on this curve, and since x + a < 0 in the vicinity, there is no corresponding real value of y . Therefore, the origin (0,0) is an isolated point of this curve. This can be interpreted as a point that is isolated as a real branch, but is connected to the curve by a branch of the imaginary component.

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Japanese:

(1) S を位相空間とし，その部分集合を M，M の導集合を M'とする。いま M の点 p が，M'には含まれないとき，すなわち p∈M かつ p∉M'のとき，点 p を M の孤立点といい，孤立点だけからなる集合を離散集合という。(2) 平面上の曲線 f（x，y）＝0 上の点全体を M とするとき，M 上の点 p の近傍に，p 以外には，曲線 f（x，y）＝0 の点が存在しなければ，点 p はその曲線の孤立点であるという。すなわち，曲線から孤立はしているが，その座標が曲線の方程式を満たしている点である。たとえば，曲線 y²－x²（x＋a）＝0 において a＜0 ならば，原点（0，0）はこの曲線上の点であり，その近傍では x＋a＜0 だから，それに対応する y の実数値は存在しない。それゆえ原点（0，0）はこの曲線の孤立点である。これは実数の枝としては孤立しているが，虚数成分の枝で曲線とつながっている点と解釈できる。

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