Matrix - Gyoretsu (English spelling) matrix

Japanese: 行列 - ぎょうれつ（英語表記）matrix

Let mn numbers a _ij (i = 1, 2, ..., m ; j = 1, 2, ..., n) be

A matrix of this type is called an m×n matrix. Let us denote all matrices of this type as M. For example, a matrix in which all a _ij are zero is an element of M, but it is specifically called a zero matrix and represented as O.

Let A and B be elements of M, i.e., an m×n matrix. The sum of A and B, A+B, is the sum of each component.

is defined as:

Then, it is very easy to prove that M is closed under this operation and forms a module. The identity element is O. Next, let c be a number (scalar), and define the product cA of c and A as a matrix whose (i, j) element is caij. That is,

It is.

Finally, we define the multiplication of matrices. For simplicity, we limit it to the case where m and n are equal, that is, to n-th order square matrices. The (i, j) element of the product AB of A and B is

That is,

For example, when n is 2,

( Figure A ).

Let A, B, and C be n-th order square matrices.

It should be noted that in general, the commutative law AB = BA does not hold for multiplication. However, if E is a unit matrix,

Then AE = EA = A holds for any n-th order square matrix A.

Putting all of the above together, in algebraic terms, we can see that all n-th order square matrices form a non-commutative ring with an identity element.

Even if m ≠ n, if A is an m×n matrix and B is an n×l matrix, the product AB is defined in the same way as for square matrices.

[Tsuneo Adachi]

Simultaneous Linear Equations

Consider the simultaneous linear equations as an example of a matrix.

Also

If we put Ax＝b〔2〕
Using matrices in this way makes it extremely easy to express simultaneous linear equations.

Now, suppose there exists a square matrix B such that BA = E holds (E is a unit matrix). By multiplying both sides of [2] by B from the left, we get x = Bb
and the solution x can be found. Such a matrix B is called the inverse matrix of A and is denoted as A ^-1 . If there is an inverse matrix, there is only one, and in this case AA ^-1 = A ^-1 A = E holds. A square matrix for which an inverse matrix exists is said to be regular. A matrix A is regular if its determinant |A| is not zero. From the above, when A is regular, [2], and therefore [1], has only one solution, which can be expressed as A ^-1 b.

[Tsuneo Adachi]

Sweeping method

Here we will explain how to solve simultaneous equations numerically ( Figure B ). As an example,

We take the matrix in Figure B , omitting the unknowns and equal signs. Since the solution does not change when the order of the equations is changed, we can change the rows of the matrix in Figure B. Also, since the solution does not change when one equation is multiplied by a certain number and added to another equation, we can multiply one row by a certain number and add it to another row. Similarly, we can multiply one row by a non-zero number. As for the columns, we can only change the two columns other than the last one. Figure B shows the process of transforming the matrix into a simpler form by repeating these operations. As a result, we obtain the solution x = -1, y = 0, z = 2. This solution method is the sweep method. What is interesting is that the three basic transformations of rows (row swapping, multiplying by a number and adding it to another row, and multiplying a row by a non-zero number) can be expressed by multiplying a special regular matrix from the left. Figure C shows the case of a 2 x 2 matrix, but the same applies to the general case.

[Tsuneo Adachi]

Rank of the matrix

Let A be an m×n matrix. Now, let us suppose that column elementary transformations are allowed as well as row elementary transformations. Column elementary transformations can be obtained by multiplying A from the right by the matrix of the row elementary transformation. Elementary transformations of rows and columns are performed on A several times so that there are 1s on the diagonal and 0s elsewhere. The number of 1s remaining at the end is called the rank of A. When A is an n-th order square matrix, the condition for A to be regular is that the rank of A is n.

[Tsuneo Adachi]

How to find the inverse of a matrix

When n-th order square matrix A is regular, the rank is n as described in the previous section. Therefore, if we multiply the row elementary transformations we have performed to get B, and multiply the column elementary transformations we have C, then BAC = E. Multiplying both sides by C from the left and C ^-1 from the right gives us C(BAC)C ^-1 = CEC ^-1 = CC ^-1 = E
Therefore, we get (CB)A＝E. CB is a matrix that undergoes several row elementary transformations, so in the end, A can be changed to E using only row elementary transformations. This CB is also the inverse matrix. If we now assume that XA＝E, then XE＝X, so if we apply a row transformation to E that changes A to E, we will obtain the inverse matrix X. This is the principle behind finding the inverse matrix in Figure D.

[Tsuneo Adachi]

Matrices and Linear Maps

Let V and W be vector spaces, and T be a linear mapping from V to W. That is, for any two vectors x and y in V and a scalar (number) λ, T(x+y)＝T(x)＋T(y),
T(λx)＝λT(x)
If T is a one-to-one mapping onto T, then T is said to be an isomorphism. If an isomorphism exists, then V and W are said to be isomorphic. Also, if V = W, then a linear mapping is called a linear transformation.

The set of n-ary column vectors, R ⁿ , is a representative vector space. Now, consider the case where V is R ⁿ and W is R ^m . Let A be an m×n matrix. For a column vector x in V, Tx＝Ax [3]
If we define the mapping T : V -> W in this way, then T is a linear mapping. However, conversely, if we define T as a linear mapping from V to W, then we can obtain a matrix A that satisfies [3]. In other words, a linear mapping between vector spaces formed by column vectors is a matrix. A is called the matrix corresponding to T. ^Rm and ^Rn are isomorphic only when m = n. In addition, the condition for a square matrix A to give an isomorphic mapping is that the determinant |A| of A is not 0. This can also be seen from the condition for the existence of a solution to the simultaneous linear equations [2]. Since a finite-dimensional vector space is isomorphic to the space of column vectors of the same dimension, a linear mapping between finite-dimensional vector spaces can be expressed as a matrix when transferred to the space of column vectors. This means that the theory of finite-dimensional vector spaces is the theory of matrices themselves. This is the biggest reason why the concept of matrices is so important.

[Tsuneo Adachi]

General simultaneous linear equations

Consider a case where the number of unknowns does not necessarily match the number of equations.

The simultaneous linear equations are expressed as follows: Ax＝b〔4〕 where A is an m×n matrix of coefficients, x is an n-term column vector of unknowns, and b is an m-term column vector of b ₁ , …, b _m .
Let Ã denote an m×(n＋1) matrix with A and b to the right.

The standard form obtained by performing row transformations and swapping columns other than the n+1th column on Ã is

(It can always be transformed into this form.) r is the rank of A. If we rearrange the variables of the columns of this matrix and turn it into a system of linear equations, we get

Therefore, the condition for [4] to have a solution is d _r+1 ＝……＝d _m ＝0
In other words, the rank of A and the rank of Ã must be the same. When this condition is met, the solution to the above equation, expressed as a vector, is x＝λ ₁ c ₁ ＋……＋λ _nr c _nr ＋d
(λ ₁ ,……,λ _nr are arbitrary numbers)
When b ₁ , …, b _n are all 0, the condition for having a nontrivial solution, i.e. a solution where x ₁ , …, x _n are not all 0, is n＞r. In particular, if n＞m, that is, the number of unknowns is greater than the number of equations (because m≧r), then you will always have a nontrivial solution.

[Tsuneo Adachi]

"New Approaches to Mathematics 4: Linear Algebra" by Ichiro Tajima (1970, Kyoritsu Shuppan)

[Reference] | Linear mapping | Vector spaces

Matrix multiplication (Figure A)
©Shogakukan ">

Matrix multiplication (Figure A)

Solving simultaneous equations using the sweep-out method (Figure B)
©Shogakukan ">

Solving simultaneous equations using the sweep method (Figure B...

Special regular matrix (Figure C)
©Shogakukan ">

Special regular matrix (Figure C)

How to find the inverse matrix (Figure D)
©Shogakukan ">

How to find the inverse matrix (Figure D)

Source: Shogakukan Encyclopedia Nipponica About Encyclopedia Nipponica Information | Legend

Japanese:

m、nを自然数としてmn個の数a_ij(i＝1, 2,……, m ; j＝1, 2,……, n)を

と並べたものをm×n型行列という。この型の行列の全体をMと記すことにする。たとえば、すべてのa_ijがゼロである行列はMの元であるが、とくに零行列とよばれてOと表される。

　A、BをMの元、すなわちm×n型行列とする。AとBとの和A＋Bを成分ごとの和

で定義する。

　するとMはこの演算で閉じており、加群をなすことが、ごく簡単に示される。単位元はOである。次にcを数（スカラー）とし、cとAとの積cAを(i, j)成分がcaijなる行列として定義する。すなわち

である。

　最後に行列の積を定義するが、簡単のためmとnとが等しい場合、すなわちn次正方行列に限定する。AとBとの積ABの(i, j)成分を

とする。すなわち

である。たとえばnが2のときを例にとると、

となる（図A）。

　A、B、Cをn次正方行列とすると

が成り立つ。なお一般には積に関しては可換法則AB＝BAは成り立たないことは注意を要する。ただEを単位行列

とすると、AE＝EA＝Aが任意のn次正方行列Aに対して成り立つ。

　以上を総合して、代数学の用語を使うならば、n次正方行列の全体は、単位元を有する非可換な環をなすことがわかる。

　なお、m≠nの場合でも、Aがm×n型行列、Bがn×l型行列の場合、積ABが定義される。その方法は正方行列の場合に準ずる。

［足立恒雄］

連立一次方程式

行列の例として連立一次方程式を考える。次の連立一次方程式

は、また

と置くとき
　　Ax＝b　　〔2〕
と表せる。このように行列を用いると、連立一次方程式の表示がきわめて簡単になる。

　さて、ある正方行列Bが存在してBA＝Eが成り立つものとすると（Eは単位行列）、〔2〕の両辺に左からBを掛けることによって
　　x＝Bb
と解xが求められることになる。このようなBのことをAの逆行列といい、A^-1と表す。逆行列はあるとしてもただ一つで、このときAA^-1＝A^-1A＝Eが成り立つ。逆行列の存在する正方行列を正則であるという。行列Aが正則である条件は、Aの行列式|A|がゼロでないことである。以上により、Aが正則なときは〔2〕、したがって〔1〕はただ1組の解をもち、それはA^-1bと表される。

［足立恒雄］

掃き出し法

ここでは数値的に連立方程式を解く方法を述べる（図B）。例として

をとる。未知数と等号を略して図Bのように記す。方程式の順序を入れ換えても解は変わらないから、図Bの行列の行を入れ換えてもよい。また一つの方程式に一定の数を掛けて他の方程式に加えても解は変わらないから、一つの行を何倍かして他の行に加えてもよい。また一つの行にゼロでない数を掛けてもよいことが同様にわかる。列に関しては、最後の列以外の2列を入れ換えてもよいこと以外は許されない。これらの操作を繰り返して単純な形へと変形した過程が図Bである。結果としてx＝－1, y＝0, z＝2という解を得る。以上の解法が掃き出し法である。興味深いのは、行に関する三つの基本変形（行の入れ換え、一つの数を掛けて他の行に加える、ゼロでない数を一つの行に掛ける）が、特殊な正則行列を左から掛けることで表現できることである。図Cで2×2行列の場合を例示してあるが、一般でも同様である。

［足立恒雄］

行列の階数

Aをm×n型行列とする。いま、行基本変形とともに列基本変形も許すとする。列基本変形は、行基本変形の行列をAに右から掛けることによって得られる。Aに行と列の基本変形を何回か行って、主対角線上に1が、他は0がくるようにする。最後に残った1の数をAの階数（ランク）という。Aがn次正方行列のとき、Aが正則である条件は、Aの階数がnとなることである。

［足立恒雄］

逆行列の求め方

n次正方行列Aが正則のときは、前項で記したように階数はnである。したがって施した行基本変形を掛け合わせてB、列基本変形を掛け合わせてCとするとBAC＝Eとなる。両辺に左からC、右からC^-1を掛けると
　　C(BAC)C^-1＝CEC^-1＝CC^-1＝E
ゆえに(CB)A＝Eを得る。CBは行基本変形を何回か行う行列であるから、結局、行基本変形だけでAをEに変えることができる。またこのCBが逆行列である。いまXA＝EとすればXE＝Xだから、AをEに変える行変形をEに施せば、逆行列Xが得られることになる。これが図Dの逆行列を求める原理である。

［足立恒雄］

行列と線形写像

V、Wをベクトル空間、TをVからWへの線形写像とする。すなわち、Vの任意の二つのベクトルx、yとスカラー（数）λに対して
　　T(x+y)＝T(x)＋T(y),
　　T(λx)＝λT(x)
が満たされるとする。Tが上への一対一写像であるとき、Tは同形写像であるといわれる。同形写像が存在するとき、VとWは同形であるといわれる。また、V＝Wのときは線形写像は線形変換といわれる。

　n項縦ベクトルの全体Rⁿは代表的なベクトル空間である。いま、VがRⁿで、WがR^mである場合を考える。Aを一つのm×n型行列とする。Vの縦ベクトルxに対して
　　Tx＝Ax　　〔3〕
でもって写像T : V―→Wを定義すれば、Tは線形写像である。ところが逆にTをVからWへの線形写像とすれば、〔3〕を満たすような行列Aがとれる。すなわち、縦ベクトルのなすベクトル空間の間の線形写像とは行列のことである。AをTに対応する行列という。R^mとRⁿとはm＝nのときに限り同形である。また正方行列Aが同形写像を与える条件は、Aの行列式|A|が0でないことである。このことは連立一次方程式〔2〕の解の存在の条件からもわかる。有限次元のベクトル空間は同一次元の縦ベクトルの空間に同形であるので、有限次元のベクトル空間の間の線形写像は、縦ベクトルのなす空間に移してみれば行列で表現される。これにより有限次元のベクトル空間の理論は行列の理論そのものであることになる。これが行列の概念を重要なものとする最大の理由である。

［足立恒雄］

一般の連立一次方程式

未知数の数と方程式の数とが一致するとは限らない場合を考える。

という連立一次方程式は、Aを係数のなすm×n型行列、xを未知数のなすn項縦ベクトル、bをb₁、……、b_mのなすm項縦ベクトルとすると
　　Ax＝b　　〔4〕
と表せる。ÃでもってAの右にbを並べたm×(n＋1)型行列を表すことにする。

　Ãに行基本変形とn＋1列目以外の列の入れ換えとを行って得られる標準形が

であるとする（こういう形にかならず変形できる）。rはAの階数である。この行列を入れ換えた列の変数を付け換えて連立一次方程式に直してみると

となる。したがって〔4〕が解をもつ条件は
　　d_r+1＝……＝d_m＝0
すなわち、Aの階数とÃの階数が一致することである。そしてこの条件が満たされるとき、上の方程式の解は、ベクトルで表すと
　　x＝λ₁c₁＋……＋λ_n-rc_n-r＋d
　　　 (λ₁,……,λ_n-rは任意の数)
の形である。b₁、……、b_nがすべて0の場合、自明でない解、すなわちx₁、……、x_nがすべては0ではない解を有する条件はn＞rである。とくにn＞mつまり未知数の数が方程式の数より大きいならば（m≧rだから）つねに自明でない解を有することになる。