Determinant - determinant

Japanese: 行列式 - ぎょうれつしき（英語表記）determinant

An n-th order determinant is a number that can be expressed by arranging n ² numbers a _ij (i, j = 1, 2, ..., n) in a square, and can be expanded into a polynomial of a _ij . It is important to note that while an n-th order square matrix is a table of numbers arranged in a square, a determinant is a number.

Simultaneous linear equations with two unknowns x and y

In this case, if a ₁₁ a ₂₂ －a ₂₁ a ₁₂ ≠ 0, then by elimination, [1] is

The denominator a ₁₁ a ₂₂ －a ₂₁ a ₁₂ in equation (2) is a quadratic square matrix.

It is a number obtained in the form of a polynomial with four components of

If we promise to do so, then the numerators of x and y will also be

It was Leibniz and Cramer who took this idea further by increasing the number of variables and carrying it forward to the case of n-th order square matrices, and were the first to define and discuss determinants in general.

[Tsuneo Kanno]

Japanese mathematician Seki Takakazu also developed a theory of determinants in his Kaifudai no Ho (Kaifukudai Problems) in 1683 (Tenwa 3). A hidden problem is a problem that results in simultaneous equations with two or more unknowns. When the problem becomes complicated, it is not easy to set up an equation with only one unknown, x. In this case, several equations are made using auxiliary unknowns such as y and z, and from these the auxiliary unknowns are eliminated to create an equation with only x. Determinants are used in this elimination process. To solve this determinant, the so-called Sallas method is used in the case of three unknowns, and a similar method is used for four or more unknowns. However, there was an error in the method of solving it with five or more unknowns, which has been corrected in later generations.

[Shinichi Oya]

Definition of Determinant

n-th order square matrix with complex numbers (including real numbers) _aij as components

The sum Σsgn(σ)a _1σ(1) a _2σ(2) ……a _nσ(n) over all permutations σ of 1, 2,……, n is called the determinant of matrix A,

Or, for simplicity, we express it as |A| or detA. Here, sgn(σ) is the sign of the permutation σ, which is +1 if σ is an even permutation and -1 if it is an odd permutation. If we consider _{a ij} as a variable, the determinant |A| is a polynomial of n ² variables, and is the sum of n! monomials, where n is the number of permutations, 1, 2, …, n. When n=2,

and when n = 3 there is the "Salas method". When n = 1, |a ₁₁ | = a ₁₁ , but because the left-hand side of this is easily confused with the absolute value, this symbol is often not used. When n ≥ 4, there is no formula that can actually be used to calculate the determinant. Basic property (6) or the expansion formula, described later, is used. The determinant of a matrix with a special form can be easily obtained from the definition formula. For example, if all the components of a row or column are 0, then the determinant is 0, and, for example,

[Tsuneo Kanno]

Basic properties of determinants

The following basic properties result from the definition of a determinant:

(1) The determinant of a square matrix A is equal to the determinant of A's transpose matrix ^t A. In other words, | ^t A| = |A|. From this property, what holds true for the rows of the determinant of a square matrix A also holds true for the columns, and vice versa.

(2) The element a _ij in one row of a square matrix A, say the i-th row, is the sum of two numbers a _ij ＝a′ _ij ＋a″ _ij (j＝1,……,n)
Then, the determinant of A |A| is equal to the sum of the determinants of two matrices in which the (i, j) elements of A are replaced by a′ _ij and a″ _ij , respectively. In other words,

The same can be said about columns.

(3) The determinant of the matrix obtained by multiplying the elements of one row of a square matrix A by c is c times |A|. That is,

The same can be said about columns.

(4) The determinant of the matrix obtained by swapping two rows of a square matrix A is -|A|. That is,

The same can be said about sequences. From this basic property (4), we can see the following:

(5) The determinant |A| of a square matrix A with two equal rows or columns is 0.

Also, from (2), (3), and (5)
(6) The determinant of the matrix obtained by multiplying one row of a square matrix A by a constant is equal to |A|. That is,

The same can be said about columns. When calculating a given determinant, it is a good idea to use this property (6) to add 0s to the matrix elements and then apply the formula or expansion.

For matrix multiplication and determinant multiplication,
(7) The determinant of the product of two square matrices is equal to the product of the determinants of each matrix. That is, |A*B| = |A|*|B|
[Tsuneo Kanno]

Determinant expansion formula

Let A _ij be the (n-1)th order square matrix obtained by removing the i-th row and j-th column of n-th order square matrix A from A. Multiplying the determinant of A _ij by (-1) ^i+j , _ij = (-1) ^i+j |A _ij | is called the (i, j) cofactor of matrix A. Using the basic properties, the following expansion theorem can be obtained. For n-th order square matrix A, [3] |A| = a _i1 ã _i1 + a _i2 ã _i2 + ... + a _in ã _in
(i = 1, ..., n)
[4] |A|＝a _1j ã _1j ＋a _2j ã _2j ＋……＋a _nj ã _nj
(j = 1, ..., n)
These formulas [3] and [4] are called the expansion formula for the i-th row and the j-th column of the determinant |A|, respectively. With these formulas, the calculation of an nth order determinant can be reduced to the calculation of a (n-1)th order determinant. Using basic property (6), it is advisable to add 0 to one row or column component and use this expansion formula.

Furthermore, [3] can be regarded as an identity for n ² a _ijs , and since ã _i1 , ã _i2 ,……, ã _in do not include a _i1 , a _i2 ,……, a _in , by using (5), we obtain the following.

[5] a _k1 ã _i1 ＋a _k2 ã _i2 ＋……＋a _kn ã _in =0
(k ≠ i)
Similarly, from [4] we get the following:

[6]a _1k ã _1j ＋a _2k ã _2j ＋……＋a _nk ã _nj =0
(k ≠ j)
now

Then, from [3] [4] [5] [6], it is shown that Ã・A＝A・Ã＝|A|・E _n . If we pay attention to the basic property (7) and |En|＝1, we obtain the following method for determining whether a matrix is regular or not using the determinant and for calculating the inverse matrix. In other words, for a square matrix A to be regular, it is necessary and sufficient that its determinant |A| is not 0, and in this case, the inverse matrix A ^-1 of A is

It can be calculated as follows.

Furthermore, from this equation and [5] and [6], we obtain Cramer's rule, which is a generalized method for solving simultaneous linear equations.

[Tsuneo Kanno]

Minor

Let A = (a _ij ) be any (m, n) matrix. For a natural number p not exceeding m and n, take any p rows and p columns of matrix A, and create a pth order square matrix consisting of ^p2 elements at the intersections, for example, as follows:

There are mCp × nCp such p-th order square matrices (mCp represents the combination of p items out of m distinct items), and these are called p-th order minors of matrix A, and their determinants are called p-th order minors of A. A _ij that appeared in the above expansion was a (n-1)th order minor.

In general, the highest degree of a nonzero minor of an (m, n) matrix A is equal to the rank of the matrix A. Using this result, the rank of a matrix A can be obtained by calculating its minor.

[Tsuneo Kanno]

"Introduction to Linear Algebra" by Masahiko Saito ("Basic Mathematics 1", 1966, University of Tokyo Press) " "Matrices and Determinants" by Ichiro Satake (1958, Shokabo) " "Linear Algebra" by Fumiyuki Terada ("Science Library: Mathematics for Science and Engineering 1", 1974, Science Press)

Salas' Method
©Shogakukan ">

Salas' Method

Source: Shogakukan Encyclopedia Nipponica About Encyclopedia Nipponica Information | Legend

Japanese:

n次行列式とは、n²個の数a_ij(i, j＝1, 2,……, n)を正方形に並べた記号で表される数で、a_ijの、ある多項式の形に展開できる。n次正方行列（マトリックス）が正方形に並べられた数表であるのに対し、行列式は数であることに注意する必要がある。

　二つの未知数x、yの連立一次方程式

において、a₁₁a₂₂－a₂₁a₁₂≠0なら、〔1〕は消去法によって

と解くことができる。〔2〕式の分母a₁₁a₂₂－a₂₁a₁₂は二次正方行列

の四つの成分の多項式の形で得られる数である。いまかりに

と約束すれば、x、yの分子も同様に

と表すことができる。このような考え方を、変数を増やしてn次正方行列の場合に推し進め、初めて行列式を一般に定義し論じたのはライプニッツやクラメルである。

［菅野恒雄］

　日本の和算家関孝和(せきたかかず)も1683年（天和3）『解伏題之法』において行列式論を展開している。伏題とは二元以上の連立方程式となる問題である。問題が複雑になれば、一つの未知数xだけでは容易に方程式がたてられない。この場合、補助の未知数y、zなどを用いていくつかの方程式をつくり、これから補助の未知数を消去して、xだけの方程式をつくる。この消去にあたって行列式が用いられるのである。この行列式を解くには、三元の場合にはいわゆるサラスの方法を用い、四元以上の場合も、これに準じた方法を用いた。しかし五元以上の解き方には誤りがあったので、後世、これは訂正されている。

［大矢真一］

行列式の定義

複素数（実数の場合を含む）a_ijを成分とするn次正方行列

に対し、1, 2,……, nの置換σすべてにわたる和 Σsgn(σ)a_1σ(1)a_2σ(2)……a_nσ(n)を行列Aの行列式といい、

または、簡略化して、|A|またはdetAで表す。ただし、ここでsgn(σ)は置換σの符号で、σが偶置換なら＋1、奇置換なら－1をとる。a_ijを変数と考えると行列式|A|はn²個の変数の多項式で、1, 2,……, nの置換の個数のn！個の単項式の和である。n＝2のときは

であり、n＝3のときは「サラスの方法」がある。n＝1のときは|a₁₁|＝a₁₁となるが、この左辺は絶対値と紛らわしいので、この記号は用いないことが多い。n≧4のときは行列式の計算に実際使える公式はない。後に述べる基本性質の(6)や展開公式を用いる。特殊な形の行列の行列式は定義式から簡単に出る。たとえば、一つの行または列の成分がすべて0なら、その行列式は0であり、また、たとえば

［菅野恒雄］

行列式の基本性質

行列式の定義式から次の基本性質が出る。

(1)正方行列Aの行列式とAの転置行列^tAの行列式は等しい。つまり|^tA|＝|A|である。この性質から、正方行列Aの行列式の、行について成り立つことは列についても成り立ち、また、この逆も正しい。

(2)正方行列Aの一つの行、たとえば第i行の成分a_ijが二つの数の和
　　a_ij＝a′_ij＋a″_ij (j＝1,……,n)
であれば、Aの行列式|A|は、Aの(i, j)成分を、それぞれ、a′_ij, a″_ijに置き換えた二つの行列の行列式の和に等しい。つまり

なお、列についても同様のことがいえる。

(3)正方行列Aの一つの行の成分を、c倍して得られる行列の行列式は|A|のc倍である。つまり

なお、列についても同様のことがいえる。

(4)正方行列Aの二つの行を入れ替えて得られる行列の行列式は－|A|である。つまり

なお、列についても同様のことがいえる。この基本性質(4)から次のことがわかる。

(5)二つの行または列が等しい正方行列Aの行列式|A|は0である。

　また、(2)、(3)、(5)から
(6)正方行列Aの一つの行に他の行の定数倍を加えて得られる行列の行列式は|A|に等しい。つまり

なお、列についても同様のことがいえる。与えられた行列式を計算するとき、この性質（6）を用いて、行列の成分に0を増やしたのち、計算公式や展開式を適用するとよい。

　行列の積と行列式の積については、
(7)二つの正方行列の積の行列式はそれぞれの行列の行列式の積に等しい。つまり
　　|A・B|＝|A|・|B|
［菅野恒雄］

行列式の展開公式

n次正方行列Aの第i行と第j列をAから取り去ってできる(n－1)次正方行列をA_ijとする。A_ijの行列式に(－1)^i+jを掛けたものã_ij＝(－1)^i+j|A_ij|を行列Aの(i, j)余因子という。基本性質を用いて次の展開定理が得られる。n次正方行列Aに対し
〔3〕|A|＝a_i1ã_i1＋a_i2ã_i2＋……＋a_inã_in
　　　(i＝1,……,n)
〔4〕|A|＝a_1jã_1j＋a_2jã_2j＋……＋a_njã_nj
　　　(j＝1,……,n)
　この式〔3〕〔4〕をそれぞれ、行列式|A|の第i行による展開公式、第j列による展開公式という。この公式により、n次の行列式の計算が(n－1)次の行列式の計算に帰着されることになる。基本性質(6)を用いて、一つの行なり列なりの成分に0を増やし、この展開公式を用いるとよい。

　さらに〔3〕はn²個のa_ijの恒等式とみなされ、ã_i1, ã_i2,……, ã_inはa_i1, a_i2,……, a_inを含まないから、(5)を用いると、次を得る。

〔5〕a_k1ã_i1＋a_k2ã_i2＋……＋a_knã_in＝0
　　　(k≠i)
同様にして〔4〕から次を得る。

〔6〕a_1kã_1j＋a_2kã_2j＋……＋a_nkã_nj＝0
　　　(k≠j)
いま

と置くと、〔3〕〔4〕〔5〕〔6〕からÃ・A＝A・Ã＝|A|・E_nが示される。ここで基本性質（7）と|En|＝1に注意すると、次のような行列式による正則行列の判定法と逆行列の計算方法を得る。つまり、正方行列Aが正則なるためには、その行列式|A|が0でないことが必要十分条件であり、このときAの逆行列A^-1は

で求められる。