Continued fraction

Of the fractions

This form is called a continued fraction.

This is expressed as: Finitely cut continued fraction

can be simply converted to a fraction P _n /Q _n . A continued fraction is said to converge when the sequence converges to a single number ω, where ω is called the value of the continued fraction. For example,

In particular, the case where a ₀ is an integer, b _n is 1, and a _n is a natural number is called a regular continued fraction. The expansion of the above formula is a regular continued fraction. Any irrational number can be expanded into a regular continued fraction in exactly one way, and conversely, a regular continued fraction always converges to represent an irrational number. In the case of , 1 and 2 appear alternately in the denominator. A regular continued fraction like this, which repeats from a certain point onwards, is called a cyclic continued fraction. A regular continued fraction representing an irrational number ω is a cyclic continued fraction if and only if ω is a solution to a quadratic equation with integer coefficients.

The approximate fraction P _n /Q _n of a regular continued fraction is P _n+1 =P _n a _n +P _n-1 ,
Qn ₊₁ = _Qnan + _{Qn -1}
(n≧1, _P0 =1, _Q0 =0)
Therefore, P _n Q _n-1 -P _n-1 Q _n =(-1) ⁿ
Using these properties, continued fractions are useful for indeterminate equations, Diophantine approximations, and approximations of the roots of algebraic equations. For example, if a and b are integers, then ax-by=1, (a,b)=1
Consider the following linear equation. Expand a/b into a regular finite continued fraction:

Then,
x ₀ =(-1) ^m-1 Q _m-1 ,
y ₀ =(-1) ^m-1 P _m-1
gives one solution. All other solutions are x ₀ +bt, y ₀ +at (t is an integer).
This can be expressed as:

[Tsuneo Adachi]

Source: Shogakukan Encyclopedia Nipponica About Encyclopedia Nipponica Information | Legend

分数のうち

という形式を連分数という。これを簡単に

と表す。有限で切れる連分数

は単に分数P_n/Q_nに直せる。その列が一つの数ωに収束するとき、連分数は収束するといい、ωを連分数の値と称する。たとえば

である。とくにa₀が整数、b_nが1、a_nが自然数の場合を正則連分数という。前式の展開が正則連分数である。任意の無理数はただ一通りに正則連分数に展開され、逆に正則連分数はつねに収束して無理数を表す。の場合、分母に1と2が交互に表れるが、このように、あるところから先が循環する正則連分数を循環連分数という。無理数ωを表す正則連分数が循環連分数であるための必要十分条件は、ωが整数係数の二次方程式の解となることである。

　正則連分数の近似分数P_n/Q_nは
　　P_n+1=P_na_n+P_n-1,
　　Q_n+1=Q_na_n+Q_n-1
　　　　　(n≧1,P₀=1,Q₀=0)
という漸化式によって定まる。したがって
　　P_nQ_n-1-P_n-1Q_n=(-1)ⁿ
なる関係が成り立つ。これらの性質を用いて、連分数は不定方程式、ディオファントス近似、代数方程式の根(こん)の近似値などに有効に用いられる。たとえばa、bを整数として
　　ax-by=1, (a,b)=1
なる一次不定方程式を考える。a/bを正則有限連分数に展開して

とすると、
　　x₀=(-1)^m-1Q_m-1,
　　y₀=(-1)^m-1P_m-1
によって一つの解が与えられる。他の解はすべて
　　x₀+bt,　y₀+at　（tは整数）
と表せる。

［足立恒雄］

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