Direct sum (English spelling)

Japanese: 直和 - ちょくわ（英語表記）direct sum

(1) Regarding sets When we say the union of sets A and B , it can refer to the union when A , B ⊆ X , but it can also refer to A and B arranged without considering overlap. This is sometimes called a direct sum to distinguish it from a union set. By extension, the union of subsets can also be called a direct sum only when A ∩ B = φ. (2) Regarding commutative groups Let G be a commutative group with associative law for addition, and its subgroups G ₁ and G _2. If x ∈ G , x ₁ ∈ G ₁ , and x ₂ ∈ G ₂ can be uniquely written in the form x ＝ x ₁ ＋ x ₂ , then G is said to be the direct sum of G ₁ and G ₂ , and this is represented as G ₁ ＋ G _2. (3) Regarding vector spaces Since arithmetic in vector spaces is additive, a direct product is sometimes called a direct sum. (4) Regarding subspaces of vector spaces Let V be a vector space over a field K , and _its subspaces V1 _and V2 . If each element x of V can be uniquely written as x = _x1 ₊ _x2 _with x1 ∈ V1 _and x2 ∈ V2 , then V is said to be the direct sum _of V1 _and V2 , which is represented as V1 + V2 . In general, _we write V1 + V2 ₌ { _x1 + _x2 | _x1 ∈ _V1 _, x2 _∈ V2 }, but this is not necessarily isomorphic _to the direct sum (direct product) _of V1 _and _V2 . Therefore , in particular, the case where it is isomorphic is called _a direct sum.

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Japanese:

(1) 集合に関して　集合 A と B との和集合というときに，A ，B⊆X の場合の合併をさす場合もあるが，A と B を重なりを考えずに並べたものをいう場合もある。これを合併集合と区別するために直和ということもある。転じて，部分集合の合併についても，A∩B＝φ の場合に限って直和ということもある。 (2) 可換群に関して　加法に関する結合法をもつ可換群を G ，その部分群を G₁ ，G₂ とする。もし任意の元 x∈G ，x₁∈G₁ および x₂∈G₂ によって，x＝x₁＋x₂ の形に一意的に書けるとき，G は G₁ と G₂ の直和であるといわれ，これを G₁＋G₂ で表わす。 (3) ベクトル空間に関して　ベクトル空間の算法は加法なので，直積のことを直和ということもある。 (4) ベクトル空間の部分空間に関して　体 K の上のベクトル空間を V ，その部分空間を V₁ ，V₂ とする。もし V のおのおの元 x が，x₁∈V₁ および x₂∈V₂ によって，一意的に x＝x₁＋x₂ と書けるとき，V は V₁ と V₂ の直和であるといい，これを V₁＋V₂ で表わす。一般にも，V₁＋V₂＝{x₁＋x₂｜x₁∈V₁，x₂∈V₂} と書くが，これは V₁ と V₂ の直和 (直積) と同型とはかぎらない。それで特に，同型になる場合を直和というのである。

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