Harmonic functions

Japanese: 調和関数 - ちょうわかんすう

If a function of n variables u ( x ₁ , x ₂ ,……, x _n ) is a Laplace differential equation,

When it satisfies the above, it is called a harmonic function. Here, we will only discuss the case when there are two variables. Laplace's equation often appears in the following form in electromagnetism, fluid dynamics, etc. Let D be the region enclosed by the smooth curve C. Take a given value f (ζ) on C , and find the harmonic function u ( x , y ) within D , that is,
Δ u ( x , y )=0 ( x , y )∈ D
u (ζ)= f (ζ) ζ∈ C
In particular, when C is a circle with the origin as its center and radius R , the solution can be expressed in polar coordinates and given by the Poisson integral formula.

Harmonic functions satisfy the maximum principle, i.e., they can only have maximum and minimum values on the boundary of the domain D. This shows that there is only one solution to the previous boundary value problem.

[Haruo Sunouchi]

Source: Shogakukan Encyclopedia Nipponica About Encyclopedia Nipponica Information | Legend

Japanese:

n変数の関数u(x₁,x₂,……,x_n)がラプラスの微分方程式

を満足するときこれを調和関数という。ここでは二変数のときに限って述べる。ラプラスの方程式は、電磁気学や流体力学などで、次の形でよく現れる。滑らかな曲線Cで囲まれた領域をDとするとき、C上で与えられた値f(ζ)をとり、D内で調和関数u(x,y)を求めよ、すなわち、
　Δu(x,y)=0　(x,y)∈D
　　u(ζ)=f(ζ)　ζ∈C
を解け、という境界値問題である。とくにCが原点を中心、半径Rの円のときは、解は極座標で表して、ポアソンの積分公式

で表される。調和関数は最大値原理を満たす。すなわち、最大値、最小値をとるのは領域Dの境界上に限る。これから、前の境界値問題の解はただ一つであることがわかる。