Substitution integral method

Japanese: 置換積分法 - ちかんせきぶんほう

To find the indefinite integral of a function f ( x ), replace the integral variable x with t by x = φ( t ) and calculate as follows, which is called substitution integral method. In the case of definite integrals, if φ( t ) is an increasing function that is differentiable in the interval α≦ t ≦ β and φ'( t ) is integrable in this interval, then when a = φ(α) and b = φ(β), the following formula holds for a function f ( x ) that is integrable in a ≦ x ≦ b . In the case of functions of two variables, if there is a one-to-one correspondence between area A on the ( x , y ) plane and area B on the ( u , v ) plane by functions x = φ( u , v ) and y = ψ( u , v ) that satisfy appropriate smoothness conditions , then, and this determinant is called the function determinant of φ,ψ with respect to u and v, or the Jacobian determinant.

Source: Heibonsha World Encyclopedia, 2nd Edition Information

Japanese:

関数f(x)の不定積分を求めるのに，x＝φ(t)により積分変数xをtで置き換えて，として計算することを置換積分法という。定積分の場合は，φ(t)が区間α≦t≦βで微分可能な増加関数であって，φ′(t)がこの区間で積分可能ならば，a＝φ(α)，b＝φ(β)とするとき，a≦x≦bで積分可能な関数f(x)に対して次の公式が成立する。　2変数の関数の場合は，適当な滑らかさの条件を満たす関数x＝φ(u,v)，y＝ψ(u,v)によって，(x,y)平面の領域Aと(u,v)平面の領域Bとが1対1に対応するならば，ここに，であって，この行列式はφ，ψのu,vに関する関数行列式，またはヤコビの行列式と呼ばれる。

出典　株式会社平凡社世界大百科事典第２版について　情報

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