Logarithmic functions

A function that assigns the logarithmic value to the variable x. The logarithmic function with base a (a＞0, a≠1) is expressed as y=log _a x. Since y=log _a x means x=a ^y , the logarithmic function is the inverse function of the exponential function. A graph of y=log _a x can be obtained by folding the graph of y= _a x around the line y=x as the axis. log _a x is a function defined for all positive real numbers x, and log _a 1=0. When a＞1, it is an increasing function,

When 0 < a < 1, it is a decreasing function,

For logarithmic functions, the following formula holds:

log _a xy=log _a x+log _a y
log _a x ^k = klog _a x
log _a b・log _b c=log _a c
A logarithm with a=10, i.e. the base 10, is called a common logarithm. The use of 10 as the base of logarithms is a matter of convenience due to our adoption of the decimal notation system, and has no mathematical basis. In mathematics, it is common to use the number e. This is particularly natural in relation to differential and integral calculus, as it simplifies the various formulas. That is,

The logarithm with e as the base is called the natural logarithm, and in mathematics, simply writing logx means the logarithm with e as the base. This is sometimes written as log nat or ln, an abbreviation of logarithmus naturalis, the Latin for natural logarithm. For example, ln(1+x) means log _e (1+x).

When calculating the value of a logarithmic function, the following expansion formula is used:

For example, log2 can be calculated by setting x=1/3 in the second equation.

Common logarithms were discovered by the Scotsman Napier around 1615, and were later improved by the Englishman Briggs, and came into general use. Kepler was amazed and delighted to hear the news from Napier, and used it to make calculations that led to the discovery of the famous Kepler's Laws.

This relationship was first established around 1650 by the Belgian Saint Vincent Gregorius Saint Vincent (1584-1667) and was largely established throughout the 17th century.

[Osamu Takenouchi]

Source: Shogakukan Encyclopedia Nipponica About Encyclopedia Nipponica Information | Legend

変数xにその対数の値を対応させる関数のこと。a(a＞0,a≠1)を底とする対数関数をy=log_axで表す。y=log_axとはx=a^yのことだから、対数関数は指数関数の逆関数である。y=log_axのグラフは、y=_axのグラフを、直線y=xを軸として折り返せば得られる。log_axは、すべての正の実数xについて定義された関数で、log_a1=0である。a＞1のときは増加関数で、

0＜a＜1のときは減少関数で、

対数関数について、次の公式が成り立つ。

　　log_axy=log_ax+log_ay
　　log_ax^k=klog_ax
　　log_ab・log_bc=log_ac
　a=10、すなわち10を底とする対数を常用対数という。対数の底として10を使うのはわれわれが十進(じっしん)記数法を採用していることによる便宜的なものであり、数学的な根拠があるわけではない。数学では、数eを用いるのが普通である。とくに微分積分法との関連においては、諸公式を簡明にするので自然である。すなわち、

となる。eを底とする対数を自然対数といい、数学では、単にlogxと書けば、eを底とする対数を意味する。これを、自然対数をラテン語で書いたlogarithmus naturalisを略した形でlog nat、あるいはlnと書くこともある。たとえばln(1+x)はlog_e(1+x)を意味する。

　対数関数の値を計算するとき、次の展開式を利用する。

たとえばlog2は第二の式でx=1/3とすれば求められる。

　常用対数は、スコットランドのネーピアによって1615年ころにみいだされ、その後イングランドのブリッグズによって改良され、一般に用いられるようになった。ケプラーはネーピアからの知らせに驚喜してこれを活用し、有名なケプラーの法則の発見に至る計算をしたという。一方、

という関係は、1650年ころ、ベルギーのサン・バンサンGregorius Saint Vincent（1584―1667）によってその端緒が得られ、17世紀を通じて、だいたい確立された。

［竹之内脩］

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