Algebra - daisuugaku (English spelling) algebra

Japanese: 代数学 - だいすうがく（英語表記）algebra

It is one of the major fields of mathematics along with geometry and analysis, and its main research subject is sets for which operations such as the four arithmetic operations of numbers are defined. More precisely, it is as follows: A×A is the intersection of a set A with itself, and a mapping from A to A f:A×A∋(a,b)→f(a,b)∈A
are called binary operations on A. Addition of numbers (a, b) → a+b and multiplication of numbers (a, b) → ab are binary operations on sets of numbers.

A set for which a finite number of binary operations are defined is called an algebraic system. Modern algebra, simply put, is the study of algebraic systems. Particularly important algebraic systems include groups, rings, fields, and Lie algebras, each of which has its own theory, but research is also being conducted on the relationships between algebraic systems, and applications to other fields of mathematics are also being considered.

[Tsuneo Kanno]

Group Theory

In the set Z of all integers, two binary operations, addition and subtraction, are possible. On the other hand, in the set Q ^x of all rational numbers other than 0, multiplication and division are possible. These two algebraic systems Z and Q ^x are different sets, and their binary operations are completely different, but they share a common property. This is the idea of a group. In other words, if there is a set G where f:G×G∋(a,b)→f(a,b)∈G
A binary operation is defined as follows: (1) f(f(a,b),c)=f(a,f(b,c))
(a, b, c∈G)
(2) There is a special element e in G such that f(a,e)=f(e,a)=a (a∈G).
(3) A mapping G∋a→g(a)∈G is defined and f(a,g(a))=f(g(a),a)=e
(a∈G)
If G satisfies the above, then G is called a group.

Now, if we define groups in this way, we can see that there are groups other than groups of numbers such as Z, Q, and ^x . For example, let M be a nonempty set, and P(M) be the set of one-to-one mappings from M onto M. For elements σ and μ of P(M),
(4) (μ゜σ)(m)=μ(σ(m))
(m∈M)
Then μ゜σ is an element of P(M), and P(M) becomes a group through the binary operation (μ,σ) → μ゜σ. This group P(M) is called the transformation group of M, and the elements of P(M) are called permutations of M. In particular, when M={1,2,……,n}, P(M) is written as Sn and is called the nth order symmetric group. Sn consists of n! elements. Generally, a group with a finite number of elements is called a finite group, and the symmetric group Sn plays a particularly important role in finite group theory.

Also, when M is a linear space, the set GL(M) of all linear mappings of elements σ of P(M) is itself a group. If the dimension of the linear space is n, then this group GL(M) is essentially the same as the multiplicative group of all n-th order square matrices whose determinant is not zero, and is called the automorphism group of the linear space M.

Group theory is the study of groups, especially f(a,b)=f(b,a) (a,b∈G).
A group for which this holds is called a commutative or abelian group, and has many applications in other areas of mathematics. Permutation groups are not commutative if M has three or more elements, but they are closely related to geometry.

[Tsuneo Kanno]

Ring theory

The set of integers Z can be multiplied as well as added and subtracted. In this way, the set A becomes a commutative group because (5) A×A∋(a,b)→a+b∈A.

(6) For A×A∋(a,b)→ab∈A,
(ab)c=a(bc) (a,b,c∈A)
Furthermore, for a special element e, ae=ea=a (a∈A).
There is something like that.

If A satisfies the above, then A is called a ring. A ring is an algebraic system with three binary operations: addition, subtraction, and multiplication. In a ring A, a+b=b+a (a,b∈A) holds from (5). For multiplication, in particular, (8) ab=ba (a,b∈A)
When this holds, A is called a commutative ring. Z and the set of polynomials C[X] are commutative rings. The set of n-th order square matrices Mn(C) is a ring under matrix addition and multiplication, but is not a commutative ring if n ≥ 2. The ring Mn(C) is also a linear space over C, and there exists a relation between scalar product and multiplication as a ring: (9) α(ab) = (αa)b = a(αb)
(α∈C, a, _b∈Mn (C))
holds. When A, which is both a ring and a linear space, satisfies (9), A is called an algebra. The study of rings is called ring theory. Commutative rings and algebras in particular have been studied for a long time.

[Tsuneo Kanno]

Theory of matter

The set of rational numbers Q is a commutative ring, since addition, subtraction, and multiplication are possible, but it can also be divided by elements other than 0. Thus, the set K is (10)K is a commutative ring under addition and multiplication.

(11) Every non-zero element K ^x of K is a group under multiplication. If this holds, then K is called a field.

Like Q, the set of real numbers R and the set of complex numbers C are fields, but Z is a ring that is not a field. A field is a special type of ring, and is commonly referred to as an algebraic system in which the four arithmetic operations are possible. However, one of the four arithmetic operations, division, (a,b) → ab ^-1 , is possible when b ≠ 0, so strictly speaking it is not a binary operation of K. When K ^x becomes a commutative group in condition (11), K is called a commutative field. A field that is not a commutative field is called a non-commutative field, and a commutative field is sometimes simply called a field. Q is the smallest field contained in C, but there are an infinite number of fields between Q and C. Such a field is called a number field.

According to the Fundamental Theorem of Algebra, for a Q coefficient n ≧ degree polynomial f(X), if the highest degree coefficient is 1, then
(12) f(X)=(X-ω ₁ )(X-ω ₂ )
……(X-ω _n )
As shown above, f(X) can be written as complex numbers ω ₁ , …, ωn, which are called the roots of f(X). The complex numbers ω that are the roots of f(X) are called algebraic numbers. The entire set of algebraic numbers is the field between Q and C, and the mathematics that studies f(X) is number theory.

Now, the smallest field Q(ω ₁ ,……,ω _n ) containing the roots ω ₁ ,……,ω n of f(X) in (12) and Q consists of all the numbers that can be obtained from the n numbers ω ₁ ,……,ω _n and elements of Q by a finite number of arithmetic operations. If we consider the field Q(ω ₁ ,……,ω _n ) as a set and use a substitution σ, then for elements a and b of Q(ω ₁ ,……,ω _n ), σ(a+b)=σ(a)+σ(b),
σ(ab)=σ(a)σ(b)
The set of all fields that satisfy Q(ω ₁ ,……,ω _n ) forms a finite group G using the binary operator (4). Furthermore, it is known that there is a natural and beautiful correspondence between the fields in Q(ω 1 ,……,ω n ) and the groups in G. This is the Galois Theorem, one of the pinnacles of modern algebra.

A number that is not an algebraic number is called a transcendental number. If a number field K contains a transcendental number, then K is said to be a transcendental extension field of Q. Fields of this kind appear as function fields on algebraic varieties and are important in algebraic geometry.

[Tsuneo Kanno]

Lie algebra

The axiom (5) of rings holds, and furthermore, instead of (6), we have a kind of multiplication (a,b) → [a,b]

An algebraic system A for which this holds is called a Lie algebra.

The set of n-th order square matrices Mn(C) is a ring through matrix addition and multiplication, but it is also a Lie algebra through matrix addition and the new multiplication [a,b] = ab-ba. There is a concept called a Lie group that combines groups and manifolds, and the tangent space of this group at the identity element becomes a Lie algebra in a natural way. In this way, Lie algebras are linked to manifolds and are important.

[Tsuneo Kanno]

History of Algebra

If the expression of numbers with symbols is the beginning of algebra, it was practiced in India, Arabia, Egypt and other places before Christ. Notation was perfected in Europe in the 16th century, and following the linear and quadratic equations that had already been found, Cardano discovered solutions to cubic equations and Ferrari discovered solutions to quartic equations. After that, research was conducted on algebraic solutions to equations of degree five or higher, but in the 19th century, Abel, Galois and others proved that algebraic equations of degree five or higher cannot generally be solved algebraically. The basis for this is the so-called Galois theory. The reorganization of this theory and research such as Fermat's problem served as a catalyst for the establishment of the basic theory of groups, rings and fields.

In addition, algebraic theory was applied to geometry and analysis, such as proving old geometric problems such as angle trisection, while various algebraic systems using axioms were devised, leading to the creation of today's abstract algebra.

[Tsuneo Kanno]

"Algebra" edited by Masayoshi Iyanaga and Masami Nunokawa (1968, Iwanami Shoten)" ▽ "Introduction to Algebra" by Makoto Ishida (1978, Jikkyo Publishing)

[Reference] | Group | Field

Source: Shogakukan Encyclopedia Nipponica About Encyclopedia Nipponica Information | Legend

Japanese:

幾何学、解析学と並ぶ数学の大きな分野の一つで、数の四則のような演算が定義された集合をおもな研究対象にしている。より正確にいえば次のようになる。集合AとA自身との積集合A×AからAへの写像
　　f:A×A∋(a,b)→f(a,b)∈A
をAの二項演算という。数の足し算(a,b)→a+bおよび掛け算(a,b)→abは、数の集合の二項演算である。

　有限個の二項演算が定義されている集合を代数系という。現代の代数学は、ひとことでいえば、代数系を研究する数学である。とくに重要な代数系として、群、環、体、リー環があり、それぞれに独自の理論ができているが、相互の代数系を関係づけた研究もなされ、また、他の数学の分野への応用も考えられてきている。

［菅野恒雄］

群論

整数全体の集合Zでは、数の足し算と引き算の二つの二項演算ができる。一方0以外の有理数全体の集合Q^xでは、数の掛け算と割り算ができる。これら二つの代数系Z、Q^xは集合としても違うし、その二項演算もまったく異なるが共通の性質をもっている。それが群という考え方である。つまり、集合Gに
　　f:G×G∋(a,b)→f(a,b)∈G
なる二項演算が定義され
（1）f(f(a,b),c)=f(a,f(b,c))
　　　　　　　　　(a,b,c∈G)
（2）Gに特殊な元eがあって
　　f(a,e)=f(e,a)=a (a∈G)
（3）写像G∋a→g(a)∈Gが定義され
　　f(a,g(a))=f(g(a),a)=e
　　　　　　　　　 (a∈G)
を満たすとき、Gを群という。

　さて、群をこのように定義すると、Z、Q^xのような数の群以外の群があることがわかる。たとえば、Mを空でない集合とし、P(M)をMからMの上への一対一写像全体とする。P(M)の元σ、μに対し、
（4）(μ゜σ)(m)=μ(σ(m))
　　　　　　　　　 (m∈M)
とすると、μ゜σはP(M)の元で、二項演算(μ,σ)→μ゜σでP(M)は群になる。この群P(M)をMの変換群といい、P(M)の元をMの置換という。とくにM=｛1,2,……,n｝のとき、P(M)をSnと書き、n次の対称群という。Snはn!個の元からなっている。一般に元の個数が有限である群を有限群というが、対称群Snは有限群論でとくに重要な役をする。

　また、Mが線形空間のとき、P(M)の元σで線形写像になっているもの全体の集合GL(M)は、それ自身、群になる。この群GL(M)は、線形空間の次元をnとすると、n次正方行列で行列式が0でないもの全体のつくる乗法群と本質的に同じで、線形空間Mの自己同形群という。

　群を研究する数学が群論であるが、とくに
　　f(a,b)=f(b,a) (a,b∈G)
が成り立つ群を可換群またはアーベル群といい、数学の他の分野に広く応用されている。置換群は、Mの元が3個以上なら可換群ではないが、幾何学などと関連が深い。

［菅野恒雄］

環論

整数全体Zは、足し算、引き算のほかに掛け算もできる。このように集合Aが
（5）A×A∋(a,b)→a+b∈Aで可換群になる。

（6）A×A∋(a,b)→ab∈Aについて、
　　(ab)c=a(bc) (a,b,c∈A)
さらに、特殊な元eで
　　ae=ea=a (a∈A)
なるものがある。

を満たすとき、Aを環という。環は、足し算、引き算、掛け算の三つの二項演算をもつ代数系である。環Aでは（5）からa+b=b+a (a,b∈A)が成り立つ。積について、とくに
（8）ab=ba (a,b∈A)
が成り立つとき、Aを可換環という。Zや多項式全体C［X］は可換環である。n次正方行列全体Mn(C)は、行列の加法、乗法で環になるが、n≧2なら可換環でない。環Mn(C)は、C上の線形空間でもあり、スカラー積と、環としての乗法の間に
（9）α(ab)=(αa)b=a(αb)
　　　 (α∈C,　a,b∈M_n(C))
が成り立つ。このように、環でもあり線形空間でもあるAが（9）を満たすとき、Aを多元環という。環を研究する数学が環論である。とくに可換環と多元環は古くから研究されている。

［菅野恒雄］

体論

有理数全体Qは、足し算、引き算、掛け算ができて、可換環であるが、さらに0以外の元による割り算ができる。このように集合Kが
（10）Kは加法と乗法で可換環である。

（11）Kの0以外の元全体K^xは乗法で群である。を満たすとき、Kを体という。

　Qと同様に、実数全体R、複素数全体Cは体であるが、Zは体でない環である。体は、環の特別なもので、俗に、四則演算が可能な代数系といわれるが、四則のうちの割り算、(a,b)→ab^-1はb≠0のとき可能であるから、厳密にいうとKの二項演算ではない。条件（11）でK^xが可換群になるとき、Kを可換体という。可換体でない体を非可換体といい、可換体を単に体ということもある。QはCに含まれる最小の体であるが、QとCの間に無数の体がある。このような体を数体という。

　Q係数のn≧一次多項式f(X)は、代数学の基本定理により、最高次の係数を1とすると、
（12）　f(X)=(X-ω₁)(X-ω₂)
　　　　　　……(X-ω_n)
のように、f(X)の根といわれる複素数ω₁、……、ωnで書ける。このようなf(X)の根になっている複素数ωを代数的数という。代数的数全体はQとCの間にある体で、を研究する数学が整数論である。

　さて、（12）のf(X)の根ω₁、……、ωnとQを含む最小の体Q(ω₁,……,ω_n)は、n個の数ω₁、……、ω_nとQの元から有限回の四則演算で得られる数全体からなるが、体Q(ω₁,……,ω_n)を集合と考えての置換σでQ(ω₁,……,ω_n)の元a、bに対し
　　σ(a+b)=σ(a)+σ(b),
　　σ(ab)=σ(a)σ(b)
を満たすもの全体は、二項演算（4）で有限群Gをつくる。さらに、Q(ω₁,……,ω_n)に含まれる体と、Gに含まれる群との間に、自然で美しい対応がつくことがわかっている。これが、現代代数学の一つの頂点であるガロアの定理である。

　代数的数でない数を超越数という。数体Kが超越数を含むとき、KをQの超越拡大体という。この種の体は、代数多様体の関数体として現れ、代数幾何学で重要である。

［菅野恒雄］

リー環

環の公理（5）が成り立ち、さらに（6）のかわりに一種の乗法(a,b)→［a,b］について

が成り立つ代数系Aをリー環という。

　n次正方行列全体Mn(C)は、行列の加法と乗法で環であったが、行列の加法と、新しい乗法［a,b］=ab-baでリー環にもなっている。群と多様体の結合概念にリー群といわれるものがあるが、この群の単位元での接空間は自然な方法でリー環になる。このように、リー環は多様体と結び付き、重要である。

［菅野恒雄］

代数学の歴史

数を記号で表すことが代数学の始まりなら、それは紀元前インド、アラビア、エジプトなどで行われていた。16世紀ヨーロッパで記号法が完成し、すでに得られていた一次方程式、二次方程式に次いで、カルダーノの三次方程式、フェラリの四次方程式の解法の発見がある。その後、五次以上の方程式の代数的解法の研究がなされたが、19世紀に入り、アーベル、ガロアらによって、次数が五以上の代数方程式は一般には代数的に解けないことが証明された。この根拠に、いわゆるガロアの理論がある。この理論の整理とフェルマーの問題などの研究が契機となり、群、環、体の基礎理論が確立された。

　また、角の三等分など、古い幾何学の問題が代数の理論で証明されるなど、幾何学、解析学に応用される一方、公理を用いたさまざまな代数系が考え出され、今日の抽象代数学ができあがった。

［菅野恒雄］

『彌永昌吉・布川正巳編『代数学』（1968・岩波書店）』▽『石田信著『代数学入門』（1978・実教出版）』

[参照項目] | 群 | 体

出典　小学館　日本大百科全書(ニッポニカ)日本大百科全書(ニッポニカ)について　情報 | 凡例

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