Logarithm - arithmetic

When a is a constant, for a number x ,
x = a ^y ……(1)
The number y that satisfies is called the logarithm of x (with a as the base),
y = log _a x ……(2)
(log is an abbreviation of the English word logarithm). In other words, (1) and (2) are equivalent. In this case, x is called the real number of y . For example, 8=2 ³ and 0.01=10 ^-2 , so 3=log ₂ 8 and -2=log ₁₀ 0.01, respectively. y = log _a x is the inverse function of the exponential function y = a ^x , and if a is a positive number other than 1, then for any positive number x , there is one and only one logarithm y with a as the base. In what follows, we will assume that a > 0 and a ≠ 1 for the base, and that the real number is positive. Since 1= a ⁰ and a = a ¹ , log _a 1=0 and log _a a =1 always hold. Also, if α=log _a A and β=log _a B , then A = a ^α , B = a ^β , and by the law of exponents, AB = a ^α・a ^β = a ^α+β , or log _a AB = α+β, and therefore log _a AB
=log _a A +log _a B ……(3)
Similarly, log _a ( A / B )
=log _a A -log _a B ……(4)
Let p be any real number, and log _a A ^p = p log _a A. In particular, let n be a natural number.

These formulas lead to the following. The product and quotient of two positive numbers A and B can be found by using the sum and difference of their logarithms. The nth power and nth root of a positive number A can also be found by using n times and 1/ n of log _a A , respectively. The following relationship exists between logarithms with different bases:

log _a A =log _b A /log _b a ……(6)
This type of calculation is called logarithmic calculation.

Logarithms with base 10 are called common logarithms. The following calculations can be performed on common logarithms.

log ₁₀ 2000
=log ₁₀ (2× ¹⁰³ )
=3+log ₁₀ 2
log ₁₀ 0.002
=log ₁₀ (2× ^10-3 )
=-3+log ₁₀ 2
In the same way, from the value of log ₁₀ 2, we can find the logarithm of a number of the form 2 × 10 ⁿ , where n is an integer. In general, if the value of log ₁₀ x is given, for x in the range 1≦ x < 10, we can find the logarithm of a number of the form x × 10 ⁿ . A table of common logarithms of numbers in this range is called a logarithm table. For example, from the logarithm table we obtain log ₁₀ 3.14=0.4969. Therefore, log ₁₀ 3140=3+log ₁₀ 3.14
=3.4969
log ₁₀ 0.0314=-2+log ₁₀ 3.14
=.4969
As can be seen from the last of these forms, when finding a logarithm from a logarithm table, it is convenient to separate it into an integer part, such as 3, and a decimal part, such as 4969. The former is called the index, and the latter the mantissa. The index is the same as - n .

As an example of calculation using logarithms:

Let's find the value of .

Therefore, x = 0.9528
In the last step mentioned above, a logarithm table can be used inversely to find x from the value of log ₁₀ x , but for this purpose, an inverse logarithm table, which corresponds the real number value to the logarithm value, i.e., a table of values ​​y = 10 ^x (0≦ x ＜ 1), has also been created.

For a long time, logarithmic calculations have been useful in reducing the effort required for numerical calculations, but in recent years, with the development of computers, their use has decreased. A logarithmic scale is a number line with the coordinates log ₁₀ x marked with x . Graph paper using this scale is called logarithmic graph paper, and is used to find empirical formulas. In addition to common logarithms, logarithms with base e are also widely used.

[Tsuneo Uetake]

Source: Shogakukan Encyclopedia Nipponica About Encyclopedia Nipponica Information | Legend

aを定数とするとき、数xに対し、
　　x=a^y……(1)
を満たす数yを、（aを底(てい)とする）xの対数といい、
　　y=log_ax……(2)
と書く（logは、対数を意味する英語logarithmを略した記号）。すなわち、(1)と(2)は同値である。このとき、xをyの真数という。たとえば、8=2³,0.01=10^-2であるから、それぞれ3=log₂8,-2=log₁₀0.01である。y=log_axは指数関数y=a^xの逆関数であり、aを1でない正の数とすれば、どんな正の数xに対しても、aを底とする対数yが一つだけ定まる。以下、底についてはa＞0,a≠1、真数については正とする。1=a⁰,a=a¹であるから、つねにlog_a1=0,log_aa=1が成り立つ。また、α=log_aA,β=log_aBとすればA=a^α,B=a^βで、指数法則によりAB=a^α・a^β=a^α+βすなわちlog_aAB=α+β、したがって
　　log_aAB
　　 =log_aA+log_aB……(3)
が成り立つ。同様にして
　　log_a(A/B)
　　 =log_aA-log_aB……(4)
pを任意の実数としてlog_aA^p=plog_aAで、とくに、nを自然数として

が導かれる。これらの公式から、二つの正の数A、Bの積、商がそれぞれの対数の和、差を利用して求められる。また、正の数Aのn乗、n乗根がそれぞれlog_aAのn倍、n分の1を利用して求められる。なお、異なる底をもつ対数の間には次の関係がある。

　　log_aA=log_bA/log_ba……(6)
このような計算を対数計算という。

　10を底とする対数を常用対数という。常用対数については次のような計算ができる。

　　log₁₀2000
　　　　　　=log₁₀(2×10³)
　　　　　　=3+log₁₀2
　　log₁₀0.002
　　　　　　=log₁₀(2×10^-3)
　　　　　　=-3+log₁₀2
同じようにして、log₁₀2の値から、nを整数として2×10ⁿの形の数の対数の値を求めることができる。一般に1≦x＜10の範囲にあるxについて、log₁₀xの値が与えられればx×10ⁿの形の数の対数の値を求めることができる。この範囲にある数の常用対数の値の表が対数表である。たとえば対数表からlog₁₀3.14=0.4969が得られる。よって
　　log₁₀3140=3+log₁₀3.14
　　　　　　　=3.4969
　　log₁₀0.0314=-2+log₁₀3.14
　　　　　　　=.4969
これらの最後の形をみればわかるように、対数表から対数の値を求めるときは、3、のような整数部分と、4969のような小数部分に分けて扱うと都合がよい。前者を指標、後者を仮数とよぶ。指標は-nと同じ意味である。

　対数を用いる計算例として

の値を求めてみよう。

よって　x=0.9528
前述の最後でlog₁₀xの値からxを求めるのに対数表を逆に用いてもよいが、このために、対数の値に真数の値を対応させた逆対数表、すなわちy=10^x(0≦x＜1)の値の表もつくられている。

　長い間、対数計算は数値計算の労力を減らすのに役だってきたが、近年、コンピュータの発達によって、利用されることが少なくなった。数直線で、座標log₁₀xの点にxと目盛ったものを対数目盛りとよぶ。この目盛りを用いた方眼紙を対数方眼紙といい、実験式を求めたりするのに利用される。常用対数のほかに、eを底とする対数も広く用いられている。

［植竹恒男］

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