Tangent plane

Japanese: 接平面 - せつへいめん（英語表記）tangent plane

Let the functions x = x ( u , v ), y = y ( u , v ), z = z ( u , v ) that define a surface S be continuous and continuously differentiable at all points in its domain, i.e., S be smooth. Let P be a point on S and the coordinates of P be ₍ x0 , _y0 , z0 ) _. The tangent plane of S at P is the plane that satisfies the following equation:
Here _, x0 = x ( u0 , v0 ), y0 ₌ y ( u0 , v0 ₎ , z0 ₌ z ( u0 _, v0 ). This equation can _also be expressed as _a vector equation _, x ₌ x ( u , v ) + λ(∂x/∂u) + μ( ∂x / ∂v ), with λ and μ as parameters. From this equation, we can see that the tangent plane is a plane determined by the tangent vectors ∂x / ∂u and ∂x / ∂v of the curve on the surface that passes through point P. In this case, point P is called the point of tangency, and the vector on the tangent plane at P is called the tangent vector or vector on the surface.

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Japanese:

曲面 S を定義する関数 x＝x(u，v) ，y＝y(u，v) ，z＝z(u，v) がその定義域のすべての点で連続ですべて連続微分可能，すなわち S がなめらかであるとし，また S 上の1点をP ，P の座標を (x₀，y₀，z₀) とする。P における S の接平面とは，次の方程式を満たす平面のことである。
ここで x₀＝x(u₀，v₀) ，y₀＝y(u₀，v₀) ，z₀＝z(u₀，v₀) である。この方程式は，λ，μ を媒介変数として x＝x(u，v)＋λ(∂x/∂u)＋μ(∂x/∂v) のベクトル方程式で表わすこともできる。この式から，接平面は，点Pを通る曲面上の曲線の接線ベクトル ∂x/∂u，∂x/∂v によって決定される平面であることがわかる。このときの点P を接点，P における接平面上のベクトルを接ベクトルまたは曲面上のベクトルという。

出典　ブリタニカ国際大百科事典小項目事典ブリタニカ国際大百科事典小項目事典について　情報

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