Orthocenter - Suishin

The three perpendicular lines drawn from the three vertices of a triangle to its opposite sides intersect at one point. This point is called the orthocenter of the triangle. The orthocenter of an acute triangle is inside the triangle, and the orthocenter of a right triangle is the vertex of the right angle. The orthocenter of an obtuse triangle is inside the angle opposite the obtuse vertex. Each vertex of a triangle is the orthocenter of the triangle formed by the other two vertices and the orthocenter. The orthocenter of a triangle is also the circumcenter of the triangle formed by the straight lines that pass through each vertex of the triangle and are parallel to the opposite side. A triangle formed by connecting the three perpendicular lines of a triangle is called a orthocenter. The orthocenter of an acute triangle is the incenter of the orthocenter of the orthocenter of an obtuse triangle is one of the excenters of the orthocenter of the orthocenter. When a point is chosen on each of the three sides of an acute triangle and these three points are connected to form a triangle, the perimeter is shortest when the three points are the feet of the perpendicular lines, that is, when it is a orthocenter.

[Toshio Shibata]

Source: Shogakukan Encyclopedia Nipponica About Encyclopedia Nipponica Information | Legend

三角形の三つの頂点からその対辺に下ろした三つの垂線は1点で交わる。その点を三角形の垂心という。鋭角三角形の垂心は三角形の内部にあり、直角三角形の垂心は直角の頂点である。また、鈍角三角形の垂心は、鈍角である頂角の対頂角の内部にある。三角形の各頂点は、他の二つの頂点と垂心とでできる三角形の垂心になる。また、三角形の垂心は、その三角形の各頂点を通り対辺と平行な直線でできる三角形の外心でもある。三角形の三つの垂線の足を結んでできる三角形を垂足三角形(すいそくさんかくけい)という。鋭角三角形の垂心は垂足三角形の内心であり、鈍角三角形の垂心は垂足三角形の傍心の一つである。また、鋭角三角形の3辺の上にそれぞれ1点をとってその3点を結び三角形をつくるとき、その周囲がもっとも短くなるのは、3点が垂線の足である場合、つまり垂足三角形の場合である。

［柴田敏男］

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