Ordinal numbers

A finite set A with n elements can be expressed as { a ₀ , a ₁ ,……, a _{n -1} } by numbering its elements. This means that there is exactly one corresponding element in set A to the set of natural numbers less than n , {0, 1,……, n -1}, including the arrangement (order). The ordinal number of these sets is said to be n . The ordinal number of the empty set is defined as 0. An ordinal number thus gives a type of order to a set when its elements are numbered in a certain order, and this concept has been extended to infinite sets.

The set of all natural numbers {0, 1, 2, …} does not have a maximum element in the order of magnitude. The ordinal of this set is denoted as ω, and is called the smallest infinite ordinal. For each natural number n , n < ω. The ordinals greater than ω are:
ω＋1,ω＋2,……,ω＋ω(＝ω・2),……,ω＋ω＋……(＝ω・ω＝ω ² ),ω ² ＋1,……,ω ³ ,……,ω ^ω ,……
Since each of these represents an ordinal in the set of all ordinals less than itself, it is convenient to think of an ordinal and the set of all ordinals less than it as being the same thing. That is,
ω = {0, 1, 2, …}
ω+1={0, 1, 2,……,ω}
ω ^ω = {0, 1, 2,……,ω,ω+1,……,ω ² ,……,ω ³ ,……}
In these sets, for any two distinct elements, one is greater than the other, and each subset has a smallest element. In this way, when any two elements of set A are ordered, and every subset has a first element in this order, A is said to be a well-ordered set in this order. Ordinals are well-ordered sets, but {……,-2,-1,0,1,2,……} is not a well-ordered set because it does not have a smallest element. If we associate the order of well-ordered sets with the relationship between the ordinals, we can associate a certain ordinal with exactly one element each while maintaining the order. Therefore, we can say that ordinals represent the type of order of well-ordered sets. {1,3,5,……,2,4,6,……} is a well-ordered set in the order from left to right, and the ordinal ω・2＝{0,1,2,……,ω,ω+1,ω+2,……}
It has the same type as (1), and its ordinal is ω · 2. Also, the ω-th and (ω + 1)-th elements are 2 and 4, respectively.

[Toshio Nishimura]

Source: Shogakukan Encyclopedia Nipponica About Encyclopedia Nipponica Information | Legend

n個の元をもつ有限集合Aは、その元に番号をつけて、｛a₀, a₁,……, a_n-1｝と表すことができる。これは、集合Aの元と、nより小さい自然数の集合｛0, 1,……, n－1｝との間に、並べ方（順序）を含めて互いの元がちょうど一つずつ対応するようにしたものである。これらの集合の順序数はnであるという。空集合の順序数は0と定める。順序数とはこのように、集合の元に一定の順序で番号づけを与えたときの、その集合の順序の型を与えるもので、この概念を無限集合にまで広げたものである。

　自然数全体の集合｛0, 1, 2,……｝は、大小の順序で最大元がない。この集合の順序数をωと表し、最小の無限順序数といい、各自然数nに対してn＜ωとする。ωより大きい順序数として、
　　ω＋1,ω＋2,……,ω＋ω(＝ω・2),……,ω＋ω＋……(＝ω・ω＝ω²),ω²＋1,……,ω³,……,ω^ω,……
などがある。これらはそれぞれ、自分自身より小さい順序数全体の集合の順序数を表すので、順序数と、それより小さい順序数全体の集合を同一のものと考えると便利である。すなわち、
　　ω＝｛0, 1, 2,……｝
　　ω＋1＝｛0, 1, 2,……,ω｝
　　ω^ω＝｛0, 1, 2,……,ω,ω＋1,……,ω²,……,ω³,……｝
である。これらの集合は、どの二つの異なる元についても、一方は他方より大きく、さらに、その部分集合にも最小の元がある。このように、集合Aのどの二つの元の間にも順序がついていて、しかも、どの部分集合にもこの順序で最初の元があるとき、Aはこの順序で整列集合であるという。順序数は整列集合であるが、｛……,－2,－1, 0, 1, 2,……｝は最小元がないので整列集合ではない。整列集合は、その順序を順序数の大小関係と対応させると、その順序を保ったまま、ある順序数と互いにちょうど一つずつの元を対応させることができる。したがって、順序数は整列集合の順序の型を表すということができる。｛1, 3, 5,……, 2, 4, 6,……｝は左から右への順序で整列集合で、順序数
　　ω・2＝｛0, 1, 2,……,ω,ω＋1,ω＋2,……｝
と同じ型で、その順序数はω・2である。また、ω番目、(ω＋1)番目の元はそれぞれ2、4である。

［西村敏男］

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