Ordered set - ordered set

Japanese: 順序集合 - じゅんじょしゅうごう（英語表記）ordered set

The magnitude relationship ≦ for real numbers has the following properties: (1) a ≦ a (reflexive law), (2) if a ≦ b , b ≦ c , then a ≦ c (transitive law), (3) if a ≦ b , b ≦ a , then a ＝ b (antisymmetric law). Generalizing this, when the relationship ≦ is determined for a set M and it has the above properties (1), (2), and (3), M is said to be an ordered set. If we fix a set S and decide that for subsets A and B of S , if A ⊆ B , then A ≦ B , then the set T of all subsets of S becomes an ordered set. However, for example, if we take two distinct elements s and t of δ and set A = { s } and B = { t }, then neither A ⊆ B nor B ⊆ A.

Source: Heibonsha World Encyclopedia, 2nd Edition Information

Japanese:

実数の大小関係≦は次の性質をもっている。(1)a≦a(反射律)，(2)a≦b,b≦cならば，a≦c(推移律)，(3)a≦b,b≦aならば，a＝b(反対称律)。これを一般化して，集合Mに関係≦が定まっていて，上記(1)(2)(3)の性質をもつとき，Mは順序集合であるという。一つの集合Sを固定して，Sの部分集合A,Bについて，A⊆Bのとき，A≦Bと決めれば，Sの部分集合全体の集合Tは順序集合になる。しかし，例えばδの相異なる二元s,tを取って，A＝｛s｝，B＝｛t｝とすれば，A⊆BでもB⊆Aでもない。

出典　株式会社平凡社世界大百科事典第２版について　情報

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