Periodic function

For a function f ( x ) defined over all real numbers, if there is a positive number p such that f ( x + p ) = f ( x ) for all x , then f ( x ) is said to be a periodic function with p as one period. When f ( x ) is a periodic function, there are many periods, but if f ( x ) is a non-constant function and is continuous at a certain point, there is a minimum number of periods, and the other periods are natural number multiples of this. This minimum period is called the fundamental period of f ( x ). Trigonometric functions are typical examples of periodic functions. The fundamental period of sin x and cos x is 2π. The fundamental period of tan x is π. General periodic functions can be expressed as Fourier series using sin and cos, under appropriate conditions.

Periodic functions can be defined similarly on the complex plane. For a non-constant function f ( z ), if there exists ω≠0 such that f ( z + ω) = f ( z ) for all z , then f ( z ) is said to be a periodic function with ω as one period. When f ( z ) is a periodic function, all of the periods of f ( z ) form a group under complex addition. If f ( z ) is continuous at a point, the following two cases occur: (1) there is a certain _ω1 ≠0, and all of the periods are integer multiples of _ω1 ; ( ₂ ) there are certain _ω1 and ω2, and the ratio of _ω1 to _ω2 is not a real _number , and all _{of the} periods can be expressed as n1ω1 ₊ n2ω2 ( n1 _and n2 _are integers).

In the case of (1), it is said to be a singly periodic function. e ^z is a typical example, with 2π i as the fundamental period. In the case of (2), it is said to be a doubly periodic function. A meromorphic function with a doubly periodic function is called an elliptic function. This has been studied in great detail since the 19th century, and is an important topic in the theory of algebraic functions.

[Osamu Takenouchi]

Source: Shogakukan Encyclopedia Nipponica About Encyclopedia Nipponica Information | Legend

実数全体について定義された関数f(x)に対して、すべてのxについてf(x＋p)＝f(x)を満たす正の数pがあるとき、f(x)はpを一つの周期にもつ周期関数であるという。f(x)が一つの周期関数であるとき、周期はたくさんあるが、f(x)が定数でない関数で、ある点で連続ならば、周期のうちに最小の数があり、他の周期はこれの自然数倍となる。この最小の周期をf(x)の基本周期という。周期関数の代表的なものは三角関数である。sinx, cosxは2πを基本周期とする。tanxの基本周期はπである。一般の周期関数は、適当な条件のもとで、フーリエ級数として、sin, cosを用いて表すことができる。

　複素平面上でも同様に、周期関数を定義することができる。定数でない関数f(z)に対して、すべてのzについて、f(z＋ω)＝f(z)を満たすω≠0があるとき、f(z)はωを一つの周期とする周期関数であるという。f(z)が一つの周期関数であるとき、f(z)の周期全体は、複素数の加法に関して群をつくる。f(z)がある点で連続ならば、次の二つの場合がおこる。(1)あるω₁≠0があって、周期はすべてω₁の整数倍になる。(2)あるω₁、ω₂があって、ω₁、ω₂の比は実数でなく、かつ周期はすべてn₁ω₁＋n₂ω₂（n₁、n₂は整数）と表すことができる。

　(1)の場合は単一周期関数であるという。e^zはその代表的な例で、2πiを基本周期とする。(2)の場合は二重周期関数であるという。二重周期を有する有理形関数を楕円関数(だえんかんすう)という。これについては、19世紀以来、非常に詳しい研究がなされ、代数関数論のなかの重要な話題である。

［竹之内脩］

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