Commutative law

Japanese: 交換法則 - こうかんほうそく（英語表記）commutative law

It is also called the commutative law. Suppose a binary operation * is defined between any two elements x and y in a set S. When the relationship x * y = y * x holds for this operation (associative), the operation is said to be commutative, and the law expressed by this relationship is called the commutative law. Well-known operations for which the commutative law holds include the following:
(1) Addition (+) and multiplication (×) of numbers, including natural numbers, rational numbers, irrational numbers, real numbers, and complex numbers.
x + y = y + x , x × y = y × x
(2) Union ∪ and intersection ∩ for subsets of a set.
x ∪ y = y ∪ x , x ∩ y = y ∩ x
(3) Disjunctions (forming logical OR) ∨ and conjunctions (forming logical AND) ∧ of propositions in symbolic logic.
x ∨ y = y ∨ x , x ∧ y = y ∧ x
(4) Addition (+) of vectors, and multiplication (-) to create an inner product.
x + y = y + x , x・y = y・x
The commutative law does not hold for square matrix multiplication. In general, in a transformation group, the order in which the transformations are repeated has an effect, so the commutative law does not necessarily hold.

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Japanese:

交換律ともいう。集合 Sの任意の2元 x，yの間にある2項演算＊が定義されているとする。この演算 (結合法) に関して，x＊y＝y＊xという関係が成り立つとき，この演算は可換であるといい，この関係式で示される法則を交換法則という。交換法則が成り立つ演算でよく知られているものとしては，次のようなものがある。
(1) 自然数，有理数，無理数，実数，あるいは複素数など数についての加法＋，および乗法×。
x＋y＝y＋x，x×y＝y×x
(2) ある集合の部分集合についての結び∪および交わり∩。
x∪y＝y∪x，x∩y＝y∩x
(3) 記号論理における命題についての選言詞 (論理和をつくる) ∨，および連言詞 (論理積をつくる) ∧。
x∨y＝y∨x，x∧y＝y∧x
(4) ベクトルについての加法＋，および内積をつくる乗法・。
x＋y＝y＋x，x・y＝y・x
正方行列の乗法は交換法則が成り立たない。一般に変換群では，変換を繰返す順序が影響するので，交換法則が成立するとはかぎらないわけである。

出典　ブリタニカ国際大百科事典小項目事典ブリタニカ国際大百科事典小項目事典について　情報

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