Linear homogeneous equation - ichijiseijishiki

Japanese: 一次斉次式 - いちじせいじしき

… If f is a linear form, then f ( e _i )＝α _i ∈ K , and for an element x = x ₁ e ₁ + … + x _n en _in V , f ( x )＝ x ₁ f ( e ₁ )＋……＋ x _n f ( en ₎ ＝α ₁ x ₁ +……＋α _n x _n . Thus, f can be expressed as a linear homogeneous formula in n variables over K. Generalizing this idea, a mapping _f from the direct product V1 ×...× Vr of linear spaces V1 _, _... , Vr over _K to K , such that for each i , f ( a1 _, ..., ai _{- 1} _, αai + _βbi , ai ₊₁ , _{..., ar) = αf(a1, ..., ai-1, ai, ai +1, ..., an} ) + _βf ( a1 _, ... , _ai - 1 _, ai _, ai +1 _, ... _, an ₎ _is called a multilinear form. _...

From [Linear Algebra]

...Note that the linear spaces dealt with in linear algebra are not necessarily finite-dimensional, but the finite-dimensional case is fundamental. For example, 2 x ₁ y ₁ + 3 x ₂ y ₁ + 4 x ₁ y ₂ + x ₂ y ₂ is a linear homogeneous function in both x ₁ and x ₂ , and in both y ₁ and y _2. When two sets of variables, such as ( x ₁ , x ₂ , ..., x _n ) and ( y ₁ , y ₂ , ..., y _n ), are both linear homogeneous, they are said to be bilinear. ...

*Some of the terminology explanations that mention "linear equations" are listed below.

Source | Heibonsha World Encyclopedia 2nd Edition | Information

Japanese:

…fが線形形式ならば，f(e_i)＝α_i∈Kであり，Vの元x＝x₁e₁＋……＋x_ne_nについて，f(x)＝x₁f(e₁)＋……＋x_nf(e_n)＝α₁x₁＋……＋α_nx_nとなる。したがって，fはK上のn変数一次斉次式で表される。この考えを一般化して，K上の線形空間V₁，……，V_rの直積V₁×……×V_rからKへの写像fで，各iについて，f(a₁，……，a_i－1，αa_i＋βb_i，a_i＋1，……，a_r)＝αf(a₁，……，a_i－1，a_i，a_i＋1，……，a_n)＋βf(a₁，……，a_i－1，a_i，a_i＋1，……，a_n)が成立するものを多重線形形式という。…

【線形代数学】より

…なお，線形代数で扱う線形空間は有限次元であるとは限らないが，有限次元の場合が基本的である。また，例えば，2x₁y₁＋3x₂y₁＋4x₁y₂＋x₂y₂は，x₁,x₂についても，y₁,y₂についても一次斉次式である。このように2組のもの，例えば2組の変数(x₁,x₂，……，x_n)と(y₁,y₂，……，y_n)のいずれについても一次斉次式であるとき，これら2組のものについて双一次であるという。…