Affine space - Affine space

Japanese: アフィン空間 - アフィンくうかん（英語表記）affine space

It is also called a pseudospace. It is a space in which movement on the space can be considered as a vector. A mathematically rigorous formulation is as follows. Consider a set of points A and an n -dimensional vector V. When you associate one vector in V with any two points P ₁ and P ₂ (taking into account the order) in A as follows, the set A is called an n -dimensional affine space.
(1) (0 is the zero vector) if and only if _P1 and _P2 are equal.
(2) For any three points P ₁ , P ₂ , and P ₃ in set A , holds.
(3) For any point P1 _in set A and any vector a in V , there exists a uniquely determined point _P2 in A such that
V is called the fundamental vector space associated with A. In particular, an affine space whose associated fundamental vector space is a Euclidean vector space is called a Euclidean space. The distance between two points P ₁ and P ₂ in Euclidean space is defined to be the length | a | of the vector . A subset B ( assuming B is a non-empty set) of an affine space A is said to be a subaffine space if the set of vectors (O is a fixed point of B ) defined corresponding to point P in B is a vector space. For example, the one- and two-dimensional subaffine spaces of a three-dimensional affine space are the lines and planes of ordinary space.

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Japanese:

疑似空間ともいう。その空間の上の移動が，ベクトルとして考えられる空間のことである。数学的に厳密に定式化するには，次のようにする。点集合 A と n 次元ベクトル V を考え，A の任意の2点 P₁ ，P₂ (順序も考える) に対して，V の 1 つのベクトルを次のように対応させるとき，集合 A は n 次元アフィン空間と呼ばれる。
(1) ( 0 は零ベクトル) が成立するための必要十分条件は，P₁ ，P₂ が一致することである。
(2) 集合 A の任意の3点 P₁ ，P₂ ，P₃ に対して，が成り立つ。
(3) 集合 A の任意の点 P₁ と V の任意のベクトル a について，が成り立つような A の点 P₂ が存在し，これが一意的に定まる。
V は A に付随する基本ベクトル空間と呼ばれる。特に, 付随する基本ベクトル空間がユークリッドベクトル空間であるようなアフィン空間をユークリッド空間という。ユークリッド空間の2点 P₁ ，P₂ の距離は，ベクトルの長さ｜a｜であると定義する。アフィン空間 A の部分集合 B ( B は空集合でないとする) が，部分アフィン空間であるとは，B の点 P に対応して定まるベクトル ( O は B の定点) の全体が，ベクトル空間となる場合である。たとえば, 3次元アフィン空間の，1次元および2次元部分アフィン空間は，普通の空間の直線および平面である。

出典　ブリタニカ国際大百科事典小項目事典ブリタニカ国際大百科事典小項目事典について　情報

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