Stochastic Process -

The yen exchange rate, the amount of rainfall in a certain area, noise phenomena in communications engineering, Brownian motion, etc. are phenomena that change with chance over time. A mathematical model of such phenomena is a stochastic process. Mathematically speaking, a family of random variables {X _t } with real number t as a parameter is called a stochastic process. Here, if t is fixed, X _t is a random variable, but the sample space Ω of X _t is constant and unrelated to t. Since X _t is a function of t and ω, an element of Ω, X _t = X(t,ω)
When the element ω of Ω is fixed, X(t,ω) becomes a function of t, and this function is called a sample function or path.

Arbitrarily select a finite number of real numbers _t1 , _t2 , ..., _tn and consider a k-dimensional random variable ( _Xt1 , _Xt2 , ..., _Xtk ). The probability distribution of this k-dimensional random variable is called the finite-dimensional distribution of the stochastic process { _Xt }. Stochastic processes can be divided into additive processes, Markov processes, stationary processes, etc., depending on the properties of their finite-dimensional distribution. For the interval I = (a, b), the random variable _XI is _XI = _Xb - _Xa
We define the intervals I,J,……,K as follows:
For random variables X _I ,X _J ,……,X _K
When are independent, the stochastic process {X _t } is called an additive process.

In an additive process, when the probability of all ω where the sample function is a continuous function of t is 1, the probability distribution of the random variable X _t -X _s (t>s) is normal. This type of stochastic process is called a normal additive process. In particular, when the mean of X _t -X _s is 0 and the variance is t-s, this stochastic process is called a Wiener process or Wiener's Brownian motion. Also, when the probability of all ω where the sample function is a step function that increases in jumps of height 1 is 1, the probability distribution of the random variable X _t -X _s is Poisson distribution. This type of stochastic process is called a Poisson process.

Next, in a time-changing random phenomenon, when the state at time s is known, the state at time t (t>s) may be determined only by the state at time s, and may be unrelated to the state prior to s. A stochastic process with this property is called a Markov process. In more detail, if {X _t } is a stochastic process, then
s ₁ ＜s ₂ ＜...＜s _n ＜t
If the conditional probability law for Xt given the values ​​of _Xs1 , _Xs2 , …, _Xsn , and _Xt is equal to the conditional _probability law for _Xt given only the value of _Xsn , that is, P( _Xt (ω)∈A| _Xs1 = _xs1 , …, _Xsn = _xsn )
＝P(X _t (ω)∈A|X _sn ＝x _sn )
When this holds, {X _t } is called a Markov process.

The probability law of a Markov process is determined by the conditional probability F(s,x;t,A) of _Xt when _Xs = x, with s≦t. This probability is called the transition probability.

[Shigeru Furuya]

"Modern Mathematics 14: Probability Theory" by Kiyoshi Ito (1953, Iwanami Shoten)

Source: Shogakukan Encyclopedia Nipponica About Encyclopedia Nipponica Information | Legend

円の交換レート、ある地区における降雨量、通信工学における雑音現象、ブラウン運動などは、時の経過に伴って偶然性をもって変動する現象である。このような現象の数学的モデルが確率過程である。数学的にいえば、実数tをパラメーターとする確率変数族｛X_t｝を確率過程という。ここでtを固定すればX_tは確率変数であるが、X_tの標本空間Ωはtに無関係で一定のものである。X_tはtとΩの元ωの関数であるから
　　X_t＝X(t,ω)
と表される。Ωの元ωを固定するとX(t,ω)はtの関数となるが、この関数を標本関数または道とよぶ。

　任意に有限個の実数t₁、t₂、……、t_nを選んで、k次元確率変数(X_t1,X_t2,……,X_tk)を考え、このk次元確率変数の確率分布を確率過程｛X_t｝の有限次元分布という。確率過程はその有限次元分布の性質によって、加法過程、マルコフ過程、定常過程などに分けられる。区間I＝(a,b)に対して確率変数X_Iを
　　X_I＝X_b－X_a
と定める。互いに重なり合うことのない区間
　　I,J,……,K
に対して、確率変数
　　X_I,X_J,……,X_K
が独立であるとき、確率過程｛X_t｝を加法過程という。

　加法過程において、標本関数がtの連続関数であるようなω全体の確率が1であるとき、確率変数X_t－X_s(t＞s)の確率分布は正規分布となる。このような確率過程を正規加法過程という。ここでとくにX_t－X_sの平均値が0で、分散がt－sであるとき、この確率過程をウィーナー過程またはウィーナーのブラウン運動という。また、標本関数が高さ1の飛躍で増加するような階段関数であるようなω全体の確率が1であるとき、確率変数X_t－X_sの確率分布はポアソン分布である。このような確率過程をポアソン過程という。

　次に、時間とともに変化する偶然的現象において、時刻sにおける状態がわかっているとき、時刻t(t＞s)における状態が、時刻sにおける状態だけで決まり、s以前の状態には無関係なことがある。このような性質をもつ確率過程をマルコフ過程という。詳しくいえば、｛X_t｝を確率過程とするとき、
　　s₁＜s₂＜……＜s_n＜t
としてX_s1、X_s2、……、X_sn、X_tの値を与えたときのX_tの条件つき確率法則が、X_snの値だけを与えたときのX_tの条件つき確率法則に等しいとき、すなわち
　　P(X_t(ω)∈A|X_s1＝x_s1,……,X_sn＝x_sn)
　　＝P(X_t(ω)∈A|X_sn＝x_sn)
が成り立つとき｛X_t｝をマルコフ過程という。

　マルコフ過程の確率法則はs≦tとしてX_s＝xのときのX_tの条件つき確率F(s,x;t,A)によって決定される。この確率を遷移確率という。

［古屋　茂］

『伊藤清著『現代数学14　確率論』（1953・岩波書店）』

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