tensor product

… f ( x + x ', y ) = f ( x , y ) + f ( x ', y ) f ( x , y + y ') = f ( x , y ) + f ( x , y ') f ( ax , y ) = f ( x , ay ) = af ( x , y ) For any x , y , if f ( x , y ) = 0, then it is bilinear, but this is a trivial bilinear map. There is a bilinear map that has the fewest pairs of x , y whose image is 0, and the tensor product described below is a concrete way to construct this. One way to construct a tensor product is to introduce the minimum necessary relationship such that for each x ∈ M and y ∈ N , f ( x , y ) = xy is a bilinear map. …

*Some of the terminology explanations that mention "tensor product" are listed below.

Source | Heibonsha World Encyclopedia 2nd Edition | Information

…　f(x＋x′，y)＝f(x,y)＋f(x′，y)　f(x,y＋y′)＝f(x,y)＋f(x,y′)　f(ax,y)＝f(x,ay)＝af(x,y)　任意のx,yについて，f(x,y)＝0であれば双線形であるが，これはつまらない双線形写像である。像が0になるようなx,yの組がいちばん少ないような双線形写像があり，それを具体的に構成しうるのが，次に述べるテンソル積tensor productである。テンソル積の一つの構成法は各x∈Mおよびy∈Nに対して，f(x,y)＝xyが双線形写像であるような，必要最小限の関係を導入するのであるといいうる。…

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