Amount of exercise

Japanese: 運動量 - うんどうりょう

It is the quantitative expression of the motion of an object. When an object with mass m is moving at a speed v , mv is called the momentum of this object. Momentum is sometimes called linear momentum. This name is used to distinguish it from angular momentum, but is not commonly used.

When the magnitude of the velocity v is close to the speed of light, the momentum p is _expressed as

( c is the speed of light). The momentum of a collection of particles, i.e., a system of particles, is the sum of the momentum of each particle. The momentum of a general object is given by the sum of the momentum of each part when it is divided into infinitesimal parts.

[Hajime Tanaka and Ikuyoshi Kato]

Momentum as a physical quantity

It is said that Descartes introduced momentum as the quantity of motion, but at that time, momentum was not distinguished from the physical quantity we call kinetic energy today, and they were often confused. However, momentum is a vector quantity, while kinetic energy is a scalar quantity, and they are different physical quantities.

According to Newton's second law of motion, the change in momentum of a mass point over time is equal to an external force. This form of the second law is unrelated to the attributes of individual mass points, and indicates that the change in state that occurs when a mass point is subjected to the action of an external force is a change in momentum, and that acceleration depends on mass, an attribute of a mass point, and can be obtained by dividing the change in momentum by mass. Even when mass changes with the motion, the change in momentum over time is equal to an external force. For example, the relativistic equation of motion for a charged particle q subjected to the action of an electric field strength E and a magnetic field strength H is

This shows that momentum plays a fundamental role in the motion of an object.

When solving a general dynamical system, it is not necessarily effective to use the position coordinate r of the particles that compose this dynamical system. For example, in the solar system, the characteristics of the planet's motion can be better expressed using polar coordinates and the distance r between the sun and the planet and the rotation angle θ of the planet. In this case, the physical quantities p _r and p _θ , which correspond to momentum, can be defined for r and θ. By further expanding this, it is possible to introduce momentum p for a quantity q that describes the dynamical system. To do this, the kinetic energy T and potential energy V (positional energy) of the dynamical system are expressed in terms of q and the derivative of q with respect to time (= dq / dt ). Momentum p is the difference between T and V as a function of q ,

Just differentiate with respect to

If q is the usual position coordinate x , V does not contain the original coordinate, so the derivative of V with respect to is zero,

It can be seen that this general definition of momentum includes the usual definition of momentum as a special case. q and p are called extended coordinates and momentum. The equation of motion rewritten using q and p will have exactly the same form even if q and p are replaced with -p and q . This shows that the physical quantities q and p are interchangeable with each other, in other words, they are in a conjugate relationship. q and p are called canonically conjugate mechanical variables. Canonically conjugate mechanical variables play a core role not only in classical mechanics but also in quantum mechanics.

[Hajime Tanaka]

Momentum in various cases

Newton's third law of motion states that when object A acts on object B, object B simultaneously acts on object A with an equal magnitude and opposite direction, i.e., a reaction. Because the action is the rate of change of momentum, the changes in momentum that objects A and B each gain from their mutual action are ultimately cancelled out. In this way, the total momentum p of a mechanical system does not change due to the interaction between objects in the mechanical system, so if the total external force acting on this mechanical system is F , then dp / dt = F. Therefore, if there is no external force, the total momentum of the mechanical system is conserved (does not change). This is called the law of conservation of momentum. For example, in the case of a collision between two interacting particles, the total momentum is conserved. In the theory of relativity, the energy E of a particle has a relationship between its rest mass m ₀ and momentum p as E ² = c ² p ² + m ² c ^4. In this case, E and cp form a four-dimensional vector. According to quantum theory, light has particle properties, and the energy of a light particle, or photon, is given by hν , where ν is the frequency of light ( E = hν , where h is Planck's constant). Since the rest mass of a photon is zero, its momentum is hν / c , or h /λ if the wavelength is λ. Operators correspond to physical quantities in quantum theory.

If the position coordinate of a particle is x , the momentum operator is

The momentum value of a quantum state and its state are the eigenvalues and eigenstates of the operator. For example, if the value of the momentum in the x direction is p ' _x , the eigenstate ∅ is

So ∅ is a function that represents a wave with wavelength λ = h / p ' _x . Thus, a particle with momentum p is accompanied by a wave with wavelength h / p . In the case of an electron in a hydrogen atom, this wavelength is about the extent of the hydrogen atom, 5 × 10 ^-11 meters.

[Hajime Tanaka and Ikuyoshi Kato]

[Reference] | Operators | Scalars | Planck's constant | Vectors

Source: Shogakukan Encyclopedia Nipponica About Encyclopedia Nipponica Information | Legend

Japanese:

物体の運動を量として表したもので、質量mの物体が速度vで運動しているとき、mvをこの物体の運動量という。運動量のことを線運動量ということがある。この名称は角運動量と区別するための名称であるが、一般にはあまり用いられない。

　速度vの大きさが光の速さに近い場合には、運動量pは、静止質量m₀を用いて

で与えられる（cは光速）。質点の集まり、すなわち質点系の運動量は、各質点の運動量の和である。一般の物体の運動量は、これを微小部分に分けたときの各部分の運動量の総和で与えられる。

［田中　一・加藤幾芳］

物理量としての運動量

運動の量として運動量を導入したのはデカルトであるといわれているが、当時は、運動量と、今日われわれが運動エネルギーとよんでいる物理量とを区別せず、混同することが多かった。しかし運動量はベクトル量であり、これに対し運動エネルギーはスカラー量で、互いに異なる物理量である。

　ニュートンの運動の第二法則によれば、質点の運動量の時間的変化は外力に等しい。第二法則のこの形は、個々の質点の属性には無関係であり、質点が外力の作用を受けたときに生じる状態の変化は運動量の変化であって、加速度は質点の属性である質量に依存し、運動量の変化を質量で割って得られることを示している。質量が運動とともに変化する場合にも、運動量の時間的変化が外力に等しい。たとえば、電場の強さE、磁場の強さHの作用を受ける荷電qの粒子の相対論的な運動方程式は

で与えられる。以上のことは、運動量が物体の運動において基本的な役割を果たしていることを示す。

　一般の力学系を解く場合、この力学系を構成する粒子の位置座標rを用いるのが、かならずしも効果的であるとは限らない。たとえば太陽系においては、極座標を用い、太陽と惑星との間の距離rや惑星の回転角θを用いたほうが、惑星の運動の特徴をよく表現することができる。この場合、運動量に相当する物理量p_r、p_θをrやθに対して定義することができる。さらに拡張して、力学系を記述する一つの量qに対する運動量pを導入することができる。それには、力学系の運動エネルギーTやポテンシャルエネルギーV（位置エネルギー）を、qと、qの時間に関する微係数で表す（＝dq/dt）。運動量pは、qとの関数としてのTとVの差

で微分すればよい。すなわち

である。qを通常の位置座標xとすれば、Vはもともとを含まないので、に関するVの微係数はゼロとなり、

となって、この一般的な運動量の定義が、通常の運動量の定義を特別の場合として含んでいることがわかる。qとpを、拡張された座標と運動量という。このqとpとで書き直した運動方程式はqとpとを－pとqとに置き換えてもまったく同じ形式になる。このことは、qとpという物理量が互いに入れ換え可能な、つまり共役(きょうやく)の関係にあることを示している。qとpとを正準共役な力学変数という。正準共役な力学変数は、古典力学のみならず量子力学においても核心的な役割を担っている。

［田中　一］

さまざまな場合の運動量

ニュートンの運動の第三法則は、物体Aが物体Bに作用を及ぼしているとき、同時に物体Bは物体Aに同じ大きさで方向が逆の作用、すなわち反作用を及ぼすことを示している。作用が運動量の変化率であったから、結局は物体Aと物体Bがそれぞれ相互の作用によって得る運動量の変化が打ち消されてしまう。このように力学系の全運動量pは、力学系内の物体間の相互作用では変化しないので、この力学系に作用する全外力をFとすればdp/dt＝Fとなる。したがって、外力がなければ力学系の全運動量は保存される（変化しない）。これを運動量保存の法則という。たとえば、相互作用する2粒子間の衝突の場合、その全運動量は保存される。相対性理論では、粒子のエネルギーEは、その静止質量m₀と運動量pの間にE²＝c²p²＋m²c⁴の関係がある。このときEとcpとは四次元ベクトルを構成する。量子論によれば光は粒子性をもち、このときの光の粒子すなわち光子のエネルギーは、光の振動数をνとしてhνで与えられる（E＝hν。hはプランク定数）。光子の静止質量はゼロであるから、その運動量はhν/cとなり、あるいは、波長λを用いればh/λとなる。量子論における物理量には演算子が対応している。

　粒子の位置座標をxなどとすれば、運動量の演算子は

などで与えられる。量子的状態がとる運動量の値とその状態は、演算子の固有値と固有状態となる。たとえば、x方向の運動量の値をp'_xとすれば、固有状態∅は、

となって、∅は、波長λがλ＝h/p'_xの波を表す関数となる。このように、運動量pの粒子には波長h/pの波動が伴っている。水素原子内電子の場合、この波長は、水素原子の広がり5×10^-11メートルの程度である。