Homology - Homologie (English spelling)

Japanese: ホモロジー - ほもろじー（英語表記）homology

Homology is a fundamental concept in combinatorial and algebraic topology, alongside homotopy theory.

polyhedron

The r + 1 points v ₀ , v ₁ , …, v _r in an n -dimensional space R ⁿ are said to be in a general position if none of the s points ( s ≦ r ) are in an s -1 dimensional subspace. The smallest convex set containing these points v ₀ , v ₁ , …, v _r is called an r -simplex.

When σ ^r =| v ₀ v ₁ …… v _r |, the s -simplicial σ ^s determined by the s + 1 vertices is called an edge simplicial of σ ^r . Also, a set K of simplices that satisfy the following two conditions is called a complex.

(1) If σ∈ K , then every edge simplex of σ belongs to K.

(2) If σ,σ′∈ K , then σ⊃σ′ is a common edge simplex of σ and σ′.

The maximum dimension of a simplicial part of K is called the dimension of K. The union of the simplicial parts of K is called a polyhedron and is denoted by | K |.

A subset X of R ⁿ is said to be triangulated if there exists a complex K such that | K |= X .

[Hiroshi Noguchi]

Homology groups

Suppose a complex K is given. Consider the orientation of each simplex σ ^r =| v ₀ v ₁ …… v _r | in K. The orientation is the permutation of the vertices, and the directions that can be moved in an even permutation are the same, while other directions are distinguished by adding a minus sign as different orientations. An oriented simplex is denoted by σ ^r =＜ v ₀ v ₁ …… v _r ＞, with the vertices arranged in the order of the permutation. In what follows, simplexes are considered to be oriented. The sum of these r -simples with integer coefficients is

is called an r -chain. The set of r -chains forms a free module C _r ( K ) based on r -simplices. For each r -simplice σ ^r, its boundary

Here, < v ₀ …… _i …… v _r > means excluding v _i . This boundary ∂ _r σ ^r is an r -1 chain, and we can linearly extend this correspondence to the homomorphism ∂ _r : C _r ( K )→ C _{r -1} ( K )
We obtain. Since it can be shown that _{∂ r -1}゜∂ _r =0,
∂ _{r +1} ( C _{r +1} ( K ))⊂Ker∂ _r
Therefore, the quotient module Hr ( K )=Ker∂ _r /∂ _{r +1} ( C _{r +1} ( K ))
is determined and is called the r -dimensional homology group of K. Since H _r ( K ) is constant regardless of the triangulation of the topological space X , we denote it as H _r ( X ) and call it the r -dimensional homology group of X.

Table 1 shows the homology groups of various topological spaces.

[Hiroshi Noguchi]

Betti and Euler numbers

The r -dimensional homology group H _r ( X ) of a polyhedron X is a finitely generated commutative group, and its rank, determined by the Fundamental Theorem of Commutative Groups, is called the r -dimensional Betti number of X, and is denoted by p _r . The sum of these is χ( X )= p ₀ - p ₁ + p ₂ -……+(-1) ⁿ p _n
is called the Euler number of polyhedron X. Table 2 shows the Betti and Euler numbers of each polyhedron.

For any triangulation of a polyhedron X , K , and the number of r -simplices in K denoted by α _r , the Euler-Poincaré formula holds:

Σ(-1) ^rαr = _Σ ( _-1 ) ^rpr =
χ( X ): Euler number. In particular, if X is a sphere, p ₀ = p ₂ =1, p ₁ =0, so α ₀ - α ₁ + α ₂
(Number of vertices)(Number of edges)(Number of faces)
₌ p0 - p1 + _p2 ₌ 2
which is Euler's polyhedron formula.

[Hiroshi Noguchi]

Cohomology group

Let C _r ( K ) be the r -chain group of a complex K , where the coefficients are real numbers. In this case, C _r ( K ) is a linear space with real coefficients. Let C ^r ( K ) be its dual space.

For every ∈ C ^r ( K ) and C ∈ C _{r +1} ( K ), ∂ ^* ()( C )=(∂ C )
By this we have the cohomology boundary homomorphism ∂ ^* _{r -1} : C ^{r -1} ( K )→ C _r ( K )
Then, as in the case of homology groups, ∂ ^* _r゜∂ ^* _{r -1} =0
and ^the cohomology group Hr ( K )=Ker∂ ^* _r /∂ ^* _{r -1} ( Cr ^{- 1} ( K )) is defined, which is the r -dimensional cohomology group of the space X = | K | and is used in the study of homotopy.

[Hiroshi Noguchi]

[Reference] | Homotopy

Homology (Diagram)
©Shogakukan ">

Homology (Diagram)

Homology groups of topological spaces (Table 1)
©Shogakukan ">

Homology groups of topological spaces (Table 1)

Betti and Euler numbers of a polyhedron (Table 2)
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Betti and Euler numbers of a polyhedron (Table 2)

Source: Shogakukan Encyclopedia Nipponica About Encyclopedia Nipponica Information | Legend

Japanese:

ホモロジーは、ホモトピー理論と並んで、組合せおよび代数的トポロジーにおける基本概念である。

多面体

n次元空間Rⁿにあるr+1個の点v₀,v₁,……,v_rが一般の位置にあるとは、どのs個(s≦r)の点もs-一次元部分空間上にないことである。これらの点v₀,v₁,……,v_rを含む最小の凸集合をr‐単体という。

　　σ^r=|v₀v₁……v_r|のとき、そのs+1個の頂点で定まるs‐単体σ^sをσ^rの辺単体という。また、次の二つの条件を満たす単体の集合Kを複体という。

（1）σ∈Kならばσの辺単体はすべてKに属す。

（2）σ,σ′∈Kならば、σ⊃σ′はσおよびσ′の共通の辺単体である。

　Kに属す単体の最大次元をそのKの次元という。Kの単体の和集合を多面体といい|K|で示す。

　Rⁿの部分集合Xは、|K|=Xとなるような複体Kが存在するとき、三角形分割されるという。

［野口　廣］

ホモロジー群

複体Kが与えられているとする。Kの各単体σ^r=|v₀v₁……v_r|にその向きを考える。向きは頂点の順列であり、偶置換で移れる向きは同じとし、そうでない向きは異なる向きとしてマイナスをつけて区別する。向きをつけた単体は、その順列の順に頂点を並べてσ^r=＜v₀v₁……v_r＞と示す。以下単体は向きをつけられているものとする。これらr‐単体の整数を係数とした和

をr‐鎖という。r‐鎖の集合はr‐単体を基とする自由加群C_r(K)をつくる。各r‐単体σ^rにその境界

を定める。ここで＜v₀……_i……v_r＞はv_iを除くことを示す。この境界∂_rσ^rはr-1鎖であり、この対応を線形に拡大して準同形写像
　　∂_r:C_r(K)→C_r-1(K)
を得る。∂_r-1゜∂_r=0であることが示されるので、
　　∂_r+1(C_r+1(K))⊂Ker∂_r
よって剰余加群
　　Hr(K)=Ker∂_r/∂_r+1(C_r+1(K))
が定まり、これをKのr次元ホモロジー群という。H_r(K)は、位相空間Xの三角形分割によらずに一定するので、これをH_r(X)で示し、Xのr次元ホモロジー群という。

　表1はいろいろな位相空間のホモロジー群を示したものである。

［野口　廣］

ベッチ数・オイラー数

多面体Xのr次元ホモロジー群H_r(X)は有限生成な可換群であり、可換群の基本定理により定まるその階数をXのr次元ベッチ数といい、p_rで示すことにする。そしてこれらの次のような和
　　χ(X)=p₀-p₁+p₂-……+(-1)ⁿp_n
を多面体Xのオイラー数という。表2は、それぞれの多面体のベッチ数とオイラー数を示したものである。

　多面体Xの任意の三角形分割をKとし、Kのr‐単体の個数をα_rで示すと、次のオイラー‐ポアンカレの公式が成り立つ。

　　Σ(-1)^rα_r=Σ(-1)^rp_r=
　χ(X):オイラー数
とくにXが球面であると、p₀=p₂=1,p₁=0であるから
　　α₀　　-　　α₁　　+　　α₂
(頂点の数)(辺の数)(面の数)
　　=p₀-p₁+p₂=2
となり、これがオイラーの多面体公式である。

［野口　廣］

コホモロジー群

複体Kのr‐鎖群をC_r(K)とする。ただし係数は実数とする。このとき、C_r(K)は実数を係数とする線形空間となる。その双対空間をC^r(K)とする。

任意の∈C^r(K)とC∈C_r+1(K)に対して
　　∂^*()(C)=(∂C)
によりコホモロジー境界準同型写像
　　∂^*_r-1:C^r-1(K)→C_r(K)
を定めると、ホモロジー群の場合と同様に
　　∂^*_r゜∂^*_r-1=0
であり、剰余群
　　H^r(K)=Ker∂^*_r/∂^*_r-1(C^r-1(K))が定まり、これが空間X=|K|のr次元コホモロジー群で、ホモトピーの研究に用いられる。