Quadratic curve - nijikyokusen (English spelling) quadratic curve

Quadratic equation on the plane ax ² +2hxy+by ² +2gx+2fy+c=0
For example, 5x ² +4xy+2y ² +2x+4y+2=0
If we rewrite it in an appropriate Cartesian coordinate system {,}, it becomes 6 ² + ² = 3, so it is an ellipse.
a=b=c=1, h=g=f=0
The quadratic curve given by x ² +y ² =-1 has no real solutions. The curve described by this equation is called an imaginary circle, but since a circle is a type of ellipse, it is one of the imaginary ellipses. If the equation of a quadratic curve is factorized, for example, (x-y+2)(x+2y+1)=0
If so, this quadratic curve can be decomposed into a line where x-y+2=0 and a line where x+2y+1=0. In general, quadratic curves can be decomposed into two straight lines or not. When they are not decomposed, h ² -ab＞0,=0,＜0
Depending on the curve, it may be a hyperbola, a parabola, or a real or imaginary ellipse; these curves are collectively called conic sections or proper quadratics.

If we express the equation of a quadratic curve in homogeneous coordinates x=X/Z, y=Y/Z, we get aX ² +bY ² +cZ ² +2fYZ+2gZX+2hXY=0.
The intersection point with the line at infinity Z=0 is
^aX2 +2hXY+ ^bY2 =0
It is the point (X,Y,0) obtained by the above formula. Therefore, depending on whether the discriminant h ² -ab is positive, zero, or negative, we can see that a hyperbola intersects with the line at infinity at two points, a parabola is tangent, and an ellipse does not intersect. This is the characterization of a conic section using the line at infinity. When a quadratic curve is symmetric with respect to a certain point, this point is called the center of the quadratic curve under consideration. A quadratic curve with only one center is called central, and otherwise it is called non-central. An ellipse, a hyperbola, and two intersecting lines are central, while a parabola and two parallel lines are non-centred.

[Tachibana Shunichi]

Source: Shogakukan Encyclopedia Nipponica About Encyclopedia Nipponica Information | Legend

平面上で二次方程式
　　ax²+2hxy+by²+2gx+2fy+c=0
の解(x,y)全体がつくる図形をいう。たとえば
　　5x²+4xy+2y²+2x+4y+2=0
は、適当な直交座標系｛,｝によって書き直せば6²+²=3となるから楕円(だえん)である。また、
　　a=b=c=1, h=g=f=0
である二次曲線はx²+y²=-1であるから実数解をもたない。この方程式が表す曲線を虚円というが、円は楕円の仲間であるから、虚楕円の一つである。二次曲線の式が因数分解して、たとえば
　　(x-y+2)(x+2y+1)=0
のようになれば、この二次曲線はx-y+2=0なる直線とx+2y+1=0なる直線に分解する。一般に、二次曲線は二直線に分解する場合と分解しない場合がある。分解しない場合は
　　h²-ab＞0,=0,＜0
に応じて、双曲線、放物線、実または虚の楕円になり、これらの曲線は円錐曲線(えんすいきょくせん)、または固有二次曲線と総称される。

　二次曲線の式を斉次(せいじ)座標x=X/Z,y=Y/Zで表せば
　　aX²+bY²+cZ²+2fYZ+2gZX+2hXY=0
となり、無限遠直線Z=0との交点は、
　　aX²+2hXY+bY²=0
により求められる点(X,Y,0)である。したがって、判別式h²-abの正、ゼロ、負に応じて、双曲線は無限遠直線と2点で交わる、放物線は接している、楕円は交わらない、ことがわかる。これが円錐曲線の無限遠直線を用いた特徴づけである。二次曲線がある点に関して対称であるとき、この点を、考える二次曲線の中心という。中心がただ一つの二次曲線を有心、それ以外のとき無心という。楕円、双曲線、交わる二直線の場合は有心であり、放物線、平行二直線は無心である。

［立花俊一］

出典　小学館　日本大百科全書(ニッポニカ)日本大百科全書(ニッポニカ)について　情報 | 凡例