Binomial distribution

Let p be the probability that event E occurs in a certain trial. If the trial is repeated independently n times and the number of times E occurs is denoted as X, then X is a random variable, and the probability that X=k, p _k =P(X=k), is given by the following equation, where q=1-p.

p _k = _n C _k p ^k q ^{n k}
(k=0,1,……,n)
This probability distribution is called the binomial distribution and is represented as B(n,p).

[Example 1] If you roll a dice four times, what is the probability of getting a six exactly two times?

It is.

The above nC _k p ^k q ^nk is the formula _n C ₀ q ⁿ + _n C ₁ pq ^n-1 +…… which is obtained by expanding (q+p) ⁿ by the binomial theorem.
+ _n C _k p ^k q ^nk +……+ _n C _n p ⁿ
It is a term. If we create a line graph of the binomial distribution B(n,p) with k on the horizontal axis and p _k on the vertical axis (k=0,1,2,……,n), we get the following. If _{k 0} =np+p-1 is an integer, then p _k monotonically increases when k<k ₀ , reaches its maximum value when k=k ₀ ,k ₀ +1, and monotonically decreases when k＞k ₀ +1. If np+p-1 is not an integer, then if the integer part of np+p-1 is k ₀ , then p _k monotonically increases when k＜k ₀ , reaches its maximum value when k=k ₀ , and monotonically decreases when k＞k _0. The following can be derived from the definition of binomial distribution mentioned at the beginning. The random variables X ₁ , …, X _n are independent and P(X _i =1)=p, P(X _i =0)=q=1-p
(i=1,……,n)
In this case, the random variable X ₁ +X ₂ +……+X _n
The probability distribution of is the binomial distribution B(n,p). The mean of the binomial distribution B(n,p) is np, the variance is npq, and the characteristic function is (pe ^it +q) ⁿ .

[Example 2] When a dice is rolled 500 times, find the probability p that the number 1 will appear 80 or more times.

The desired probability p is

However, it is not easy to calculate this value directly. For problems of this type, we use a normal distribution table as follows. Approximation of the binomial distribution by normal distribution When the distribution of the random variable X is binomial distribution B(n,p), if n is large, the random variable

The distribution of is close to the standard normal distribution (Laplace's theorem). Using this, we can approximate the probability p in the previous example (Example 2). For two integers a and b, 0≦a＜b≦n, p(a≦X≦b) is the area of ​​the blue part in the figure , which is the graph of the normal distribution N(np,np(1-p)) with the same mean and variance as X, the x-axis, and the two straight lines x=a-0.5, x=b+0.5
The area of ​​the area enclosed by the square root of the square root is approximately equal to the area of ​​the area enclosed by the square root of the square root. Therefore, if we assume that the distribution of Z is a standard normal distribution,

Then, the following approximation holds:

P(a≦X≦b)≒P(α≦Z≦β)
Using this formula and a normal distribution table to calculate p for Example 2, we get p = 0.67.

[Shigeru Furuya]

Source: Shogakukan Encyclopedia Nipponica About Encyclopedia Nipponica Information | Legend

ある試行において事象Eのおこる確率をpとする。この試行を独立にn回繰り返す場合にEのおこる回数をXと置くと、Xは確率変数であって、X=kとなる確率p_k=P(X=k)は、q=1-pとして次式で与えられる。

　　p_k=_nC_kp^kq^n-k
　　　　　(k=0,1,……,n)
この確率分布を二項分布といい、B(n,p)と表す。

〔例1〕さいころを4回投げて、そのうちちょうど2回6の目の出る確率は

である。

　前記のnC_kp^kq^n-kは、(q+p)ⁿを二項定理によって展開した式
　　_nC₀qⁿ+_nC₁pq^n-1+……
　　　+_nC_kp^kq^n-k+……+_nC_npⁿ
の項になっている。二項分布B(n,p)において、kを横軸に、p_kを縦軸にとって(k=0,1,2,……,n)、折れ線グラフをつくると次のようになる。k₀=np+p-1が整数であれば、p_kはk＜k₀で単調増加、k=k₀,k₀+1で最大値をとり、k＞k₀+1で単調減少である。np+p-1が整数でなければ、np+p-1の整数部分をk₀とするとp_kはk＜k₀で単調増加で、k=k₀で最大値をとり、k＞k₀で単調減少である。初めに述べた二項分布の定義から次のことが導かれる。確率変数X₁、……、X_nは独立で
　　P(X_i=1)=p, P(X_i=0)=q=1-p
　　(i=1,……,n)
とする。このとき確率変数
　　X₁+X₂+……+X_n
の確率分布は二項分布B(n,p)である。二項分布B(n,p)の平均値はnp、分散はnpqであり、特性関数は(pe^it+q)ⁿである。

〔例2〕さいころを500回投げるとき、1の目が80回以上出る確率pを求めよ。

　求める確率pは

であるが、この値を直接計算することは容易でない。このような形の問題に対しては、次のように正規分布表を用いて計算を行う。二項分布の正規分布による近似確率変数Xの分布が二項分布B(n,p)であるとき、nが大きければ、確率変数

の分布は標準正規分布に近い（ラプラスの定理）。このことを利用して前の〔例2〕の確率pの近似値を求めることができる。0≦a＜b≦nである二つの整数a、bに対して、p(a≦X≦b)は図の青色部分の面積で、これはXと同じ平均および分散をもつ正規分布N(np,np(1-p))のグラフとx軸および2直線
　　x=a-0.5, x=b+0.5
で囲まれた部分の面積とほぼ等しい。したがって、Zの分布を標準正規分布として

と置けば、次の近似式が成り立つ。

　　P(a≦X≦b)≒P(α≦Z≦β)
この式により正規分布表を用いて〔例2〕のpを求めるとp=0.67が得られる。

［古屋　茂］

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