Linear transformation

A mapping from one space to another determined by a given matrix. Let A = (a _ij ) be a matrix with m rows and n columns. For a point P(x ₁ , ..., x _n ) in an n-dimensional space E _n,

Point P' (x ₁ ', ..., x _m ') is determined by this. Point P' is a point in m-dimensional space E _m . For a matrix A with m rows and n columns, the mapping from E _n to E _m determined in this way is called a linear transformation determined by A. For example,

Then, for a point P(x ₁ , x ₂ , x ₃ ) in space, if we write (*) component by component, we get:

For a point in space (x ₁ , x ₂ , x ₃ ), this equation determines a point in space (x ₁ ', x ₂ ', x ₃ ').

A linear transformation has the property that it maps a line to a line or a point, and a plane to a plane, a line, or a point. Also, for an n-dimensional vector x = (x ₁ , ..., x _n )
For m-dimensional vector x′＝(x ₁ , …, x _m ) defined by (＊),
This mapping is called a linear transformation from the n-dimensional vector space _Vn to the m-dimensional vector space _Vm . This mapping f has the following properties for vector operations:

f(k ₁ x ₁ + k ₂ x ₂ )=k ₁ f(x ₁ )+k ₂ f(x ₂ )
This is called the linearity of the linear transformation f.

[Terada Fumiyuki]

Source: Shogakukan Encyclopedia Nipponica About Encyclopedia Nipponica Information | Legend

行列を与えたとき、それによって定まる空間から空間への写像のこと。A＝(a_ij)をm行n列の行列とする。n次元空間E_n内の点P(x₁，……，x_n)に対して

によって点P′(x₁′，……，x_m′)が定まる。点P′はm次元空間E_mの点である。m行n列の行列Aに対して、このようにして定まるE_nからE_m内への写像を、Aで定まる一次変換という。たとえば、

のとき、空間の点P(x₁，x₂，x₃)に対して（＊）を成分ごとに書くと次のようになる。

空間の点（x₁，x₂，x₃）に、この式によって、空間の点（x₁′，x₂′，x₃′）が定まる。

　一次変換は、直線を直線または点に、平面を平面か直線か点に写像する、という性質をもっている。またn次元ベクトル
　　x＝(x₁，……，x_n)
に対して、（＊）で定まるm次元ベクトル
　　x′＝(x₁，……，x_m)
を対応させる。この写像をn次元ベクトル空間V_nからm次元ベクトル空間V_mへの一次変換という。この写像fは、ベクトルの演算について次の性質をもつ。

　　f(k₁x₁＋k₂x₂)＝k₁f(x₁)＋k₂f(x₂)
これを一次変換fの線形性という。

［寺田文行］

出典　小学館　日本大百科全書(ニッポニカ)日本大百科全書(ニッポニカ)について　情報 | 凡例