Direct product

Japanese: 直積 - ちょくせき（英語表記）direct product

Recently, it is often simply called the product. (1) Regarding sets For two sets A and B , the set formed by all pairs ( a , b ) of a and b where a ∈ A and b ∈ B is called the product, Cartesian product, or product set of A and B , and is represented by A × B. In other words, in intensional notation, A × B = {( a , b ) | a ∈ A , b ∈ B }. In general, for n sets A1 _, A2 _, _... , _An, _Πi _{= 1} ⁿ _Ai = A1 _× A2 × ... × _An = { _(a1 , a2 , ..., _an ₎ | a1 ∈ A1 _, a2 _∈ A2 , ..., _an ∈ _An } is defined as the Cartesian product of those sets. _A similar definition can be made for an infinite number of sets. (2) Regarding groups, let G1 _and G2 be _groups , and let G1 _× G2 be the set of all pairs ( _x1 , x2 ) where x1 ∈ G1 _and _x2 ∈ G2 . Now, let (x1, x2 ₎ and ( x'1 _, x'2 ) be elements _of G1 _× G2 _. If we define the product _of these two _elements _as _the pair ( x1 _x'1 , x2 _x'2 ) _, then G1 × G2 also becomes a group. _G1 _× G2 , _which has been given the structure _of a group in this way _, is called the product or direct product _of G1 _and G2 . In general, if sets A and B have an algebraic structure, and A × B can be given the same algebraic structure, then _A × B is called the product or direct product of A and B. (3) Regarding vector spaces _, let V1 , V2 be any vector spaces, _and V1 × V2 be the set of all pairs (v1, v2) with v1 ∈ _V1 _, _v2 _∈ V2. Now, let two pairs (v1 , v2 ₎ and ( _v'1 , _v'2 ) be elements of _V1 _× V2 . _If _we define the sum as ₍ _v1 _, _v2 ) + (v'1, v'2 ) = ( _v1 ₊ v'1 , v2 + _v'2 _{) and the product as c(v1, v2) = (cv1} _, _cv2 ) _for any element a of the field _K , then _V1 × V2 _also _becomes a _vector _space . In this case, V ₁ × V ₂ is called the direct product of V ₁ and V ₂ .

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Japanese:

最近では単に積 product ということも多い。 (1) 集合に関して　2つの集合 A ，B に対して，a∈A ，b∈B であるあらゆる a ，b の組 (a，b) によってつくられる集合を A と B の積，直積あるいは積集合といい，A×B で表わす。すなわち内包的記法で書けば，A×B＝{(a，b)｜a∈A，b∈B} である。また一般に n 個の集合 A₁ ，A₂ ，…，A_n に対して Π_i=1ⁿA_i＝A₁×A₂×…×A_n＝{(a₁，a₂，…，a_n)｜a₁∈A₁，a₂∈A₂，…，a_n∈A_n} を，それらの集合の直積と定義する。無限個の集合に対しても，同様に定義することができる。 (2) 群に関して　 G₁ ，G₂ を群とし，x₁∈G₁ ，x₂∈G₂ であるすべての対 (x₁，x₂) の集合を G₁×G₂ とする。いま (x₁，x₂) および (x'₁，x'₂) を G₁×G₂ の元とするとき，これら2元の積を (x₁x'₁，x₂x'₂) なる対と定義すれば，G₁×G₂ はまた群となる。こうして群の構造を与えられた G₁×G₂ を G₁ と G₂ の積あるいは直積と呼ぶ。一般に集合 A ，B が代数的構造をもつ場合は，A×B にも同じ代数的構造を与えることができれば，その A×B を A と B の積あるいは直積という。 (3) ベクトル空間に関して　 V₁ ，V₂ を任意のベクトル空間，v₁∈V₁ ，v₂∈V₂ である，すべての対 (v₁，v₂) の集合を V₁×V₂ とする。いま，2つの対 (v₁，v₂) および (v'₁，v'₂) をともに V₁×V₂ の元とするとき，和を (v₁，v₂)＋(v'₁，v'₂)＝(v₁＋v'₁，v₂＋v'₂) ，また体 K の任意の元 a に対して，積を c(v₁，v₂)＝(cv₁，cv₂) と定義すれば，V₁×V₂ はまたベクトル空間になる。このとき V₁×V₂ を V₁ と V₂ の直積と呼ぶ。

出典　ブリタニカ国際大百科事典小項目事典ブリタニカ国際大百科事典小項目事典について　情報

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