Correspondence - Taiou (English)

When a relationship P(x,y) is given, some number of y's that satisfy this relationship are determined for x. In other words, when a pair of x and y satisfies the relationship P(x,y), y is said to correspond to x through this relationship. For example, in the case of the relationship between real numbers, x ² +y ² =1, if x is 3/5, then there are two y's: 4/5 and -4/5. However, when x is 2, there is no corresponding y. Also, x=y corresponds to x itself, and is called the identity correspondence.

The set of x's for which there exists a y such that P(x,y) is called the domain of this correspondence, and the set of y's for which there exists such an x ​​is called its range. When there exists exactly one y for any x in the domain, it is called a unique correspondence. In this case, a mapping f is determined that associates a unique y with x. In other words, P(x,y) is equivalent to y=f(x). A unique correspondence is sometimes simply called a correspondence. Furthermore, when there exists exactly one x for any y in the range, this correspondence is called a one-to-one correspondence. This is equivalent to a bijection. Up until now, we have associated y with x in P(x,y), but we can also associate x with y. This is called the inverse correspondence of the original correspondence. The product of the two correspondences determined by P(x,y) and Q(y,z) is the one that associates z with x such that there exists a y such that P(x,y) and Q(y,z).

[Namba Kanji]

Source: Shogakukan Encyclopedia Nipponica About Encyclopedia Nipponica Information | Legend

関係P(x,y)が与えられたとき、xに対してこの関係を満足するyが何個か定まる。つまり、xとyの組が関係P(x,y)を満足するとき、yはxにこの関係で対応しているという。たとえば、実数の間の関係x²+y²=1のような場合にはxが3/5ならばyは4/5と-4/5の二つがある。しかし、xが2のときは、これに対応するyは存在しない。また、x=yはxにそれ自身を対応させており、恒等対応とよばれている。

　P(x,y)となるyが存在するxの全体をこの対応の定義域、そのようなxが存在するyの全体をその値域とよぶ。定義域に属する任意のxに対してただ一つのyが対応しているとき一価な対応という。このような場合xにただ一つ決まるyを対応させる写像fが定まる。すなわちP(x,y)はy=f(x)と同値な関係となる。一価な対応をもって単に対応とよぶことがある。さらに値域に属する任意のyに対してただ一つのxが定まるとき、この対応は一対一対応とよばれる。これは全単射というのと同値である。いままでP(x,y)のxにyを対応させたが、逆にyにxを対応させることもできる。これをもとの対応の逆対応とよぶ。P(x,y)およびQ(y,z)によって定められる二つの対応の積は、xに対してP(x,y)かつQ(y,z)となるyが存在するようなzを対応させるものである。

［難波完爾］

出典　小学館　日本大百科全書(ニッポニカ)日本大百科全書(ニッポニカ)について　情報 | 凡例