Theory of relativity - relativity theories

Japanese: 相対性理論 - そうたいせいりろん（英語表記）relativity theories

A general term for the special theory of relativity and the general theory of relativity proposed by Einstein. The special theory of relativity was announced in 1905 and solved the contradiction between Newtonian mechanics and the electromagnetic theory of light by introducing new concepts into the way of thinking about time and space. This theory not only clarified the basis of the theory of electromagnetism, but also played an important role as a means of research on atomic nuclei and elementary particles that was developed later. The general theory of relativity was completed in 1916 and is one of the relativistic theories of gravity, but unlike the special theory of relativity, it has not yet been fully proven.

The theory of relativity states that the laws of physics remain unchanged even when the coordinate system that expresses them is transformed, and that all coordinate systems are equal and relative to each other. "Specific" means that the transformation of this coordinate system is limited to the specific one of uniform motion, and "general" means that it is generalized to the transformation of general motion, including acceleration.

The general theory of relativity has contributed greatly to the elucidation of cosmic phenomena in which gravity plays a dominant role, particularly the expanding universe and black holes. It is also an important theory in attempts to unify forces in particle physics (unified field theory).

[Fumitake Sato]

Galileo's principle of relativity

Newtonian mechanics also includes the theory of relativity, and one of the foundations of this theory is the law of inertia, first discovered by Galileo. In other words, it is a law that if no force acts, momentum (the product of mass and velocity) remains constant. If there is a coordinate system K in which this law holds, then the law of inertia also holds in coordinate system K', which is moving at a uniform speed relative to K. If the direction of motion is chosen to be the x- coordinate direction, then between the coordinates ( t , x , y , z ) of the K system and the coordinates ( t ', x ', y ', z ') of the K' system, t '＝ t , x '＝ x - vt , where v is the constant velocity.
y ' = y , z ' = z (1)
There is a relationship between

The second law of Newtonian mechanics states that there is a relationship between force ( F ) and acceleration ( a ) as ma = F , where m is mass. Since acceleration does not change between the K and K' frames, a ' = a , and this law remains invariant to such coordinate transformations. This means that Newtonian mechanics satisfies the principle of relativity for Galilean transformations such as equation (1). This principle of relativity is also called Galilean's principle of relativity.

The origin of this problem is also related to Galileo's heliocentric theory. The Copernican theory had various influences on subsequent cosmology and physics, one of which is the heliocentric theory. Galileo discovered the law of inertia by discussing this problem on the same level as the problem of kinematics on the ground. Only this principle of relativity can explain why the motion of the Earth cannot be easily sensed, even though it moves at a high speed of 30 kilometers per second. Galileo took up this problem in the second day of discussion in his book Dialogue Concerning the Two Great World Systems (1632). In it, Galileo compares the motion of the earth with that of a ship, explaining how it is impossible to sense the uniform motion of both.

[Fumitake Sato]

Light and Ether

Light was recognized as a vibration due to the phenomenon of interference and diffraction, and the electromagnetic theory of light succeeded in describing it as the vibration of electric and magnetic fields. At first, this vibration was thought to be the result of the mechanical motion of a medium that fills space, and this hypothetical vibrating medium was given the name ether. Since light comes from other planets, it was thought that this ether must also fill space.

On the other hand, the Earth and other celestial bodies generally move relative to this ether. Therefore, if you observe the vibrations occurring in the ether by moving in a different direction relative to it, the vibrations will generally appear different. Using this principle, several attempts were made in the second half of the 19th century to find a stationary system for the ether, a medium of electromagnetic waves, but all of these failed. For example, Fizeau conducted experiments to see if the ether is dragged by flowing water, and Michelson and E. W. Morley conducted experiments to see how the speed of light varies depending on the direction of the Earth's motion.

[Fumitake Sato]

Einstein's Special Theory of Relativity

If the ether rest system were observed through the phenomenon of light, it would mean that the principle of relativity would no longer apply to the phenomenon of light, and further to the electromagnetic phenomenon that is its basis. This is because the coordinate system of the ether at rest has an absolute meaning, and all coordinate systems would no longer be equal. However, the ether rest system could not be discovered. The principle of relativity would still apply. However, Maxwell's electromagnetism does not satisfy the principle of relativity for Galilean transformations. This contradiction between Newtonian mechanics and electromagnetism, which was an emerging theory at the time, was also pointed out by H. A. Lorentz and J. H. Poincaré.

In this situation, Einstein sought a solution to this contradiction in a new concept of time and space,
The special theory of relativity was established on the basis of the following two points: (1) A new principle of relativity applies to all physical laws, including mechanics and electromagnetism; and (2) The speed of light is constant in an inertial frame. An inertial frame is a coordinate system in which matter moves at a constant speed unless a force acts on it.

In the theory of special relativity, the coordinate transformation is not the Galilean transformation of equation (1), but

This means that electromagnetism is invariant to this coordinate transformation, and the laws of mechanics have been modified to be invariant to it. Equation (2) approximately coincides with equation (1) if the velocity v is sufficiently small compared to the speed of light c . As can be seen from this, the modified relativistic mechanics approximately coincides with the laws of Newtonian mechanics if the velocity is sufficiently small compared to the speed of light. However, since the speed of light is always involved in electromagnetism, there is no non-relativistic approximate theory like Newtonian mechanics.

[Fumitake Sato]

The relativity of time

A feature of the Lorentz transformation equation (2) is that time is also transformed by the coordinate transformation. As a result, the simultaneity of two events at distant locations becomes relative. For example, suppose that an event occurs at the same time t _A = t _B at point A ( x _A , 0,0) and point B ( x _B , 0,0) in system K. However, according to equation (2), t _A ' ≠ t _B '. In other words, these events do not occur simultaneously in system K'. Simultaneity is a relative concept that differs depending on the coordinate system ( Figure A ).

The relativity of simultaneity inevitably gives rise to the relativity of length. The length of a rod is determined by the difference in the spatial coordinates where both ends are simultaneously. However, the simultaneity of both ends differs depending on the coordinate system in which it is observed. Therefore, the length measured in the coordinate system in which the rod appears to be moving will change depending on the speed. The length l of a rod moving with speed v is different from the length l0 when it is stationary _.

This is called the Lorentz contraction.

In addition, as can be seen from equation (2), for an object at rest in the K system, the time T that elapses and the time T ' in the K' system are as follows:

From the perspective of the K' frame, this object is moving, so this shows that events proceed slowly on a moving object ( Figure B ). For example, the lifetime of an elementary particle that decays after a certain lifetime becomes longer when it is in motion.

[Fumitake Sato]

Velocity Combination Law

Between the velocity w in the K system of an object and the velocity w ' in the K' system,

The law of velocity composition holds. As a special case, if w = c , then w ' = c , and it can be confirmed that the speed of light is constant in any coordinate system. This means that there is no inertial system in which light appears to be stationary. The law that the speed of light is constant holds in all inertial systems. In other words, experiments have verified that even when elementary particles moving at close to the speed of light decay and emit light, the velocities are never added together, but remain the speed of light.

[Fumitake Sato]

Mass Energy

The laws of mechanics were modified to fit the theory of special relativity, and one of the key concepts that became clear was mass-energy. This means that mass m and energy E are equivalent, and contain ^the energy E = mc2 . The total energy of a particle with momentum p is

Light is treated as a massless particle.

Einstein's equation (4) provided the basis for understanding radioactive energy from atomic nuclei and the creation and annihilation of elementary particles. Nuclear energy can be understood as the conversion of a small portion of mass into energy. Similarly, the process of electron-positron pairs being created by gamma (γ) rays can be understood as the conversion of the energy of gamma rays into the mass energy of electrons. Special relativity also provided the basis for describing elementary particles in terms of fields. This made it possible to treat elementary particles with mass and massless light equally, which, together with the establishment of quantum mechanics, led to the formation of today's picture of elementary particles.

[Fumitake Sato]

Minkowski space

From the Lorentz transformation formula (2), － c ² t ' ² ＋ x ' ² ＋ y ' ² ＋ z ' ²
=- c ² t ² + x ² + y ² + z ²
This shows that "length" in four-dimensional space, which combines time and space, is invariant under Lorentz transformation. However, "length" here differs from that in Euclidean space (three-dimensional space with length, width, and depth), and if the coordinate difference between two points is dx ^μ (μ＝0,1,2,3), then the square of "length", ds ² , is ds ² ＝η _μν dx ^μ dx ^ν (5)
Here, the subscripts μ and ν are the sums from 0 to 3. The metric tensor η _μν is
η ₀₀ = -1, η ₁₁ = η ₂₂ = η ₃₃ = 1
and the rest are zero. A four-dimensional space in which "length" is given by such a metric tensor is called Minkowski space. Lorentz transformations can be understood as a kind of rotation in this space. The special theory of relativity can be said to have been completed with this realization by Minkowski in 1907 ( Figure C ).

[Fumitake Sato]

The Lorentz group and elementary particles

The goal of this theory is that physical laws are expressions of rotational transformations in Minkowski space that are invariant with respect to the Lorentz group. Dirac then introduced a quantity called spin, which follows a group equivalent to the Lorentz group, and this spin revealed the existence of antimatter and was found to be a field that describes elementary particles such as electrons. In this way, the requirement of invariance with respect to the Lorentz group (axiom) was not simply a norm that laws should follow, but also played an important role as a law for deducing the existence of matter itself. Furthermore, the requirement of invariance with respect to transformation groups, which is a way of defining laws starting from the principle of relativity, has since come to be widely used apart from transformations of time and space coordinates.

This idea is called the theory of symmetry. It is now recognized that the special theory of relativity was also a discovery of one of these symmetries that exist in nature. The transformation group is the abstract Lorentz group, and the special expression of the quantities called coordinates of this group is the transformation between moving coordinate systems.

[Fumitake Sato]

General theory of relativity

Newton's theory of gravity did not satisfy the principle of relativity, so a new theory of gravity was needed. Einstein built his theory on the principle of equivalence, which is based on the experimental fact that inertial force and gravity are equivalent ( Figure D ). Gravity, known as universal gravitation, acts equally on all objects, and similarly, inertial force, calculated by multiplying acceleration by mass, also acts equally on all objects. Using this fact, if we take a coordinate system that accelerates relative to the inertial system, we can always cancel out gravity and achieve zero gravity. The mathematical structure of the general theory of relativity describes the physical laws in a zero gravity system in a coordinate system that accelerates relative to it.

In this way, in order to express the laws of physics in a general coordinate system that is not an inertial system, Minkowski space must be expanded to Riemann space. The square of the distance between two points in Riemann space is ds ² ＝ g _μν ( x ) dx ^μ dx ^ν (6)
Here, the metric tensor g _μν is a function of location and time. If the coordinate system is transformed, other physical quantities and g _μν are also transformed, but the same relationships hold between the new transformed quantities. The action of gravity is expressed in the metric tensor. In the weak gravity approximation, Newton's gravitational potential ∅( x ) is related to the metric tensor as g ₀₀ = 1-2∅( x )/ c ^2. Therefore, in the presence of gravity, this Riemann space generally becomes a curved space.

The law that determines the metric tensor is Einstein's gravitational field equation, a generalization of the Poisson equation that determines the gravitational potential.

Here, R _μν is the Ricci tensor containing the second derivative of g _μν , and T _μν is the energy tensor. G is Newton's gravitational constant, and this equation expresses that the metric tensor of four-dimensional space is determined by the distribution of energy. The structure of time and space is not fixed, but is affected by the existence of matter. This undermines Newton's idea of an absolute inertial system, and was predicted by Mach in his criticism of Newtonian mechanics at the end of the 19th century.

In 1917, Einstein realized the need to assume a universal repulsive force to counter the attractive force of gravity in order to create a static model of the universe in which matter density is uniform, and he extended the above equation (7) as follows:

Einstein believed that the universe is a closed space, and that the size of the entire universe is determined by λ (lambda) in the above equation. In this sense, he called λ the cosmological constant (cosmological constant). However, in 1929, American astronomer Hubble observed the expansion of the universe, and the cosmological constant, although useful, was no longer essential. The cosmological constant can be incorporated into T _μ _ν and interpreted as the energy density of the vacuum.

Meanwhile, in the latter half of the 1960s, a new concept of "vacuum" was proposed in an attempt to create a unified theory based on quantum field theory of elementary particles, and the current Standard Model is based on this vacuum theory. In this theory, a vacuum is not an empty space, but rather a finite vacuum field called the Higgs field.

Since the 1980s, attempts have been made to propose the inflationary theory, which posits that the vacuum field of the Grand Unified Theory acts as a repulsive force like the cosmological constant, as a theory of the origin of the expanding universe. In addition, a distance measurement method using supernovae as standard light sources confirmed at the end of the 20th century that the expansion of the universe is accelerating, and in 2002, measurements of density fluctuations in the early universe by the Cosmic Microwave Background Observatory WMAP confirmed that dark energy, which corresponds to the cosmological constant, dominates the energy density of the universe that leads to the current accelerating expansion. However, the magnitude of this dark energy is more than 120 orders of magnitude smaller than the repulsive force of the Higgs field, which is almost certain to exist, and the vacuum field of the hypothetical inflationary theory, and it is not clear whether they are of the same nature.

[Fumitake Sato]

Experimental Verification

When the general theory of relativity was proposed, there were three experimental verifications of it:

(a) Gravitational redshift of spectral lines
(b) Curvature of the light path due to the gravity of the sun ( Figure E )
(c) The shift in the perihelion of Mercury's orbit (a) was first measured for the Sun and white dwarfs, but in 1960 it was also measured as an effect on gamma rays in terrestrial gravity. (b) was first observed during a solar eclipse in 1919, bringing the true value of this theory to the world. In the 1970s, this effect was also measured for radio waves from quasars. The phenomenon in which a quasar appears to be split into two due to the lensing effect of a black hole in the foreground is also one example of this effect. (c) provided a solution to a problem pointed out by 19th century celestial mechanics. From the 1960s to the 1970s, this effect was measured using artificial celestial objects such as Mariner and Viking.

New experiments added in the 1960s
(d) Time Delay of Radar Echo
(E) Precession of the gyroscope on the artificial satellite. (D) measures the effect of the time it takes for light to pass through the curved space near the sun. (E) is intended to observe a new gravitational effect caused by the rotation of the earth, but has not yet been successfully detected.

All of these experiments were carried out within the solar system, but the discovery of a double pulsar system in 1974 made it possible to observe the effects of (c) and (d) on other celestial bodies. (c) is small, at 43 arcseconds per 100 years, on Mercury, but is 30,000 times larger, at 4 degrees per year, on the double pulsar.

[Fumitake Sato]

Gravitational collapse

The general theory of relativity also predicts several new phenomena in the universe. One of these is the gravitational collapse that occurs in the final state of stellar evolution and the resulting formation of a black hole. The requirements (axioms) of the theory of relativity deny the existence of infinitely solid objects. For this reason, any celestial body that is heavy enough will always contract. As gravity becomes stronger, even light will be captured, and all the matter that makes up the star will be compressed to a single point. This is called gravitational collapse, and the singularity theorem proves that the contraction cannot be stopped midway.

During gravitational collapse, a large number of gravitational waves are released in a burst in a short time of about milliseconds. As a result, it is believed that the structure of the gravitational field that is finally realized will be very simple. It is speculated that the singularity will become a black hole surrounded by an event horizon. This assumption is called the cosmic censorship hypothesis. If this assumption is correct, the shape of a black hole is completely determined by its mass and angular momentum.

[Fumitake Sato]

Black Hole

When an object of mass M undergoes gravitational collapse, it becomes invisible from the outside when its radius is r _g = 2 GM / c ² or less, and no light or objects can escape from the surface of radius r _g . However, light and objects that pass through this surface are absorbed. The name black hole has been used since around 1970 to express this absorbing nature. The limiting surface that does not allow information from the inside to escape is called the event horizon (or ground level). Objects that have already been seen fall into the horizon, but once inside the horizon, events that occur with the object become invisible. If the cosmic censorship hypothesis is correct, the space-time structure of a black hole is given by Schwarzschild spacetime, and in the case of rotation, by Kerr spacetime. Kerr spacetime contains Schwarzschild spacetime in a special case. Kerr spacetime is thought to be the only black hole with an event horizon.

Because the laws of physics are symmetric with respect to time reversal, for every absorbing black hole solution there is also an emitting white hole solution. The event horizon then becomes an impenetrable surface. White holes are thought to not exist because there is no process to create them.

[Fumitake Sato]

Space-time structure of the universe

The time-space structure of the entire universe is also determined by general relativity. The universe is a three-dimensional space with uniform curvature that is expanding in time. Whether or not it is a globally closed space cannot be determined by dynamics alone. It is possible that it is a multiply connected space. From the perspective of a unified theory, the idea of a "braneworld" has also been attempted, which considers the universe to be localized on the surface of a subspace of a multidimensional space.

[Fumitake Sato]

Quantum Gravity and Unified Theory

The quantum effects of gravity are related to the Planck length

This is important in the ultramicroscopic world below. This research also attempts to unify all interactions. General relativity is considered to be a more general non-quantum approximation at this stage. Attempts at a unified theory include an extension to multidimensional space, which is separated into four-dimensional space-time and a compact internal space, where gauge symmetry (also called gauge invariance; the laws of physics do not change even if the standard of measurement is changed) is established, which is the basis for elementary particle interactions. In order to apply quantum theory consistently, "superstring theory" (also called superstring theory or superstring theory) has been developed, which considers space to be a set of two-dimensional strings with supersymmetry, rather than a set of points.

[Fumitake Sato]

"The Meaning of Relativity" by Einstein, translated by Yano Kentaro (1958, Iwanami Shoten)" ▽ "Black Holes - General Relativity and the End of Stars" by Sato Fumitaka and R. Ruffini (1976, Chuokoron-Shinsha, Shizen Sensho)" ▽ "Einstein Studies" edited by Nishio Shigeko (1977, Chuokoron-Shinsha, Shizen Sensho)" ▽ "Special Theory of Relativity" by Wolfgang Lindler, translated by Ozawa Kiyotomo and Kumano Hiroshi (1989, Chijin Shokan)" ▽ "Illustrated Einstein's Theory of Relativity - Special and General Theories of Relativity and Cosmology" by S. Gibilisco, translated by Kojima Hideo (1989, Ohtake Shuppan)" ▽ "The Physics of Space and Time" by L. Ya. Steinmann, translated by Mito Gen, new edition (1989, Tokyo Tosho)" ▽ "Classical and Quantum Gravity Theory" by Kimura Toshie and Ota Tadayuki (1989, McGraw-Hill Publishing)" ▽ "Theory of Relativity" by Tomita Kenji (1990, Maruzen)" ▽ "On Special and General Relativity" by Albert Einstein, translated by Kaneko Tsutomu (1991, Hakuyosha)" ▽ "A Surprisingly Easy Understanding of the Theory of Relativity" by Martin Gardner, translated by Kaneko Tsutomu, revised new edition (1992, Hakuyosha)" ▽ "The Way of Thinking about the Theory of Relativity" by Sunagawa Shigenobu (1993, Iwanami Shoten)" ▽ "Einstein's Theory of Relativity " by Ernst Cassirer, translated and annotated by Yamamoto Yoshitaka, revised new edition (1996, Kawade Shobo Shinsha)" ▽ "An Easy-to-Understand Theory of Relativity" by Matsuda Takuya and Futamata Toshifumi (1996, Kodansha)" ▽ "Theory of Relativity" by Kodama Hideo (1997, Baifukan Publishing)" ▽ "Dialogue-style Explorations into the Theory of Relativity -- as an Intellectual Cultural Heritage" by Yamashita Yoshiki (2000, Corona Publishing)" ▽ "General Theory of Relativity" by Sato Fumitaka and Kodama Hideo (2000, Iwanami Shoten)" ▽ "Theory of Relativity" by Kubota Takahiro and Sasaki Takashi (2001, Shokabo Publishing)" ▽ "Learn Theory of Relativity from Scratch" by Takeuchi Kaoru, edited by Kodansha Scientific (2001, Kodansha)" ▽ "A Clear Introduction to the Theory of Relativity -- In Search of a Correct Understanding" by Tsuneoka Miwa (2003, Seibunshinsha Publishing)" ▽ "Illustrated Book to Help You Understand the Theory of Relativity Quickly, Edited by Sato Katsuhiko (2003, PHP Institute)" ▽ "How Physics Was Created: The Development of Thought from Early Concepts to the Theory of Relativity and Quantum Theory" by Einstein and Infeldt, translated by Jun Ishihara, Vol. 1 and 2 (Iwanami Shinsho) " "Introduction to the Theory of Relativity by Tatsuo Uchiyama (Iwanami Shinsho)" "The Theory of Relativity by A. Einstein, translated by Tatsuo Uchiyama (Iwanami Bunko)"

Relativity of simultaneous time (Figure A)
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Relativity of simultaneous time (Figure A)

Twin paradox (Figure B)
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Twin paradox (Figure B)

Minkowski space (Figure C)
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Minkowski space (Figure C)

Equivalence principle (Fig. D)
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Equivalence principle (Fig. D)

Curvature of the light path due to the gravity of the sun (Figure E)
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Curvature of the light path due to the gravity of the sun (Figure E)

Source: Shogakukan Encyclopedia Nipponica About Encyclopedia Nipponica Information | Legend

Japanese:

アインシュタインにより提唱された特殊相対性理論と一般相対性理論の総称。特殊相対性理論は、ニュートン力学と光の電磁気理論との矛盾を時間・空間の考え方に新概念を導入して解決したもので、1905年に発表された。この理論は電磁気の理論の基礎を明らかにしたばかりでなく、その後に発展した原子核・素粒子の研究の手段として活躍した。一般相対性理論は、1916年に完成された理論で、重力の相対論的理論の一つであり、特殊相対性理論と異なり、まだ完全に実証された理論ではない。

　物理法則が、それを表現する座標系が変換しても形が不変であるところから、あらゆる座標系は互いに対等であり、相対的であるというのが相対性理論の意味である。「特殊」とは、この座標系の変換を等速運動という特殊なものに限っているという意味であり、「一般」とは、加速度をも含む一般運動の変換に一般化されているという意味である。

　一般相対性理論は、重力が支配的な役割を演ずる宇宙現象、とくに膨張宇宙論やブラック・ホールなどの解明に大きく寄与している。また、素粒子物理学における力の統一理論（統一場理論）の試みのなかでも重要な理論になっている。

［佐藤文隆］

ガリレイの相対性原理

ニュートン力学にも相対性理論が存在するが、この理論の基礎の一つは、ガリレイによって最初にみいだされた慣性の法則である。すなわち、力が働かなければ運動量（質量と速度の積）は一定にとどまるという法則である。この法則が成り立つ一つの座標系Kがあったとして、このKに対して等速運動をしている座標系K'においても慣性の法則が成立する。運動の方向をx座標方向に選ぶとすれば、K系の座標(t,x,y,z)とK'系の座標(t',x',y',z')との間には一定速度をvとして
　　t'＝t, x'＝x－vt,
　　y'＝y, z'＝z　　　(1)
の関係がある。

　ニュートン力学の第二法則は、力（F）と加速度（a）の間にma＝Fの関係があるというものである。ここでmは質量。K系とK'系では加速度は変化しないため、a'＝aであり、この法則はこのような座標変換に対して不変にとどまる。このことを、(1)式のようなガリレイ変換に対して、ニュートン力学は相対性原理を満たすという。また、このような相対性原理はガリレイの相対性原理ともよばれる。

　この問題の発端は、ガリレイの地動説とも関連している。コペルニクス説は、その後の宇宙論と物理学にさまざまの影響をもたらしたが、その一つが地動説である。ガリレイはこの問題を地上における運動学の問題と同一次元で論ずることによって、慣性の法則を発見したのである。地球が秒速30キロメートルの高速で動いているにもかかわらず、その運動を容易に感知することができないことの説明は、この相対性原理によって初めて可能なのである。ガリレイは『天文対話――プトレマイオスとコペルニクスとの二大世界体系についての対話』（1632）という著書において、第2日目の討論でこの問題を取り上げている。そのなかで、ガリレイは、大地の運動と船の運動を対比させて、いかにこれらの等速運動を感知するのが不可能であるかを説いている。

［佐藤文隆］

光とエーテル

光は干渉や回折をする現象から、振動であることが認識され、光の電磁気理論はこれを電場・磁場の振動として記述することに成功した。初め、この振動は空間に充満している媒質の力学的運動の結果として生ずるものと考えられ、このような仮想的な振動媒質にエーテルという呼び名が与えられた。光は他の星からもやってくるため、このエーテルは宇宙空間にも充満しているはずであると考えられた。

　一方、地球も他の天体も、このエーテルに対して一般には運動をしている。したがって、エーテルにおこっている振動を、それに対して異なった運動をして観測すれば、一般に振動は異なってみえる。この原理を用いて、エーテルという電磁波の媒質の静止系をみいだそうという試みが、19世紀後半にいくつも行われたが、これらはすべて失敗に帰した。たとえばフィゾーは、流れる水にエーテルが引きずられるかどうかを実験し、マイケルソンとE・W・モーリーは、地球の運動方向によって光の速度がどう異なるかの実験を行っている。

［佐藤文隆］

アインシュタインの特殊相対性理論

もしも光の現象を通じてエーテル静止系が観測されたとすれば、それは光の現象、さらにその基礎である電磁気現象について、相対性原理が成立しなくなることを意味する。なぜなら、エーテル静止の座標系は一つの絶対的な意味をもち、すべての座標系が対等でなくなるからである。しかし、エーテル静止系は発見できなかった。相対性原理は依然として成立しているのである。ところが、マクスウェルの電磁気学は、ガリレイ変換に対する相対性原理を満たしていない。このような、ニュートン力学と、当時は新興の理論であった電磁気学との間の矛盾は、H・A・ローレンツやJ・H・ポアンカレによっても指摘されていた。

　こうした状況のなかで、アインシュタインは、この矛盾の解決法を時間・空間の新しい概念に求め、
〔1〕新しい相対性原理が力学と電磁気学をも含むすべての物理法則に対して成立する
〔2〕光の速さは慣性系で一定である
の二つを基礎に特殊相対性理論を築いた。ここで慣性系とは、力が働かなければ一定速度で運動するような座標系をいう。

　特殊相対性理論では、座標変換は(1)式のガリレイ変換ではなく

というローレンツ変換式に変更しなければならない。これにより電磁気学はこの座標変換に対して不変であり、力学法則はこれに対して不変であるように変更された。(2)式は速度vが光速cに対して十分に小さければ、近似的に(1)式に一致することになる。このことからもわかるように、変更された相対論的な力学は、速度が光速に比べて十分小さければ、ニュートン力学の法則と近似的に一致する。しかし、電磁気学にはつねに光速が関与しているため、ニュートン力学のような非相対論的な近似理論は存在しない。

［佐藤文隆］

同時刻の相対性

ローレンツ変換式(2)の特徴は、時間も座標変換によって変換されることである。このため、離れた場所における二つの事象の同時性が相対的になる。たとえば、K系のA点(x_A,0,0)とB点(x_B,0,0)で同時刻t_A＝t_Bに、ある事象がおきたとする。ところが、(2)式によればt_A'≠t_B'になる。すなわち、K'系ではこれらの事象は同時におきていないことになる。同時刻であるかどうかは座標系によって異なる相対的な概念なのである（図A）。

　同時刻の相対性は必然的に長さの相対性をも引き起こす。ある棒の長さは、両端が同時にある空間座標の差で決まる。ところが、両端の同時性は、それを観測する座標系によって異なる。したがって、棒が運動してみえる座標系で測った長さは、速度によって変化することになる。速度vで運動している棒の長さlは、静止している場合の長さl₀に比べて

のように短くなる。これをローレンツ収縮という。

　また、(2)式でわかるように、K系に静止している物体で、経過する時間TとK'系における時間T'との間には、

の関係がある。K'系からみれば、この物体は動いているため、動いている物体のうえでは事象がゆっくり進行することを表している（図B）。たとえば、ある寿命で崩壊する素粒子の寿命は運動していると長くなる。

［佐藤文隆］

速度の合成則

ある物体のK系における速度wとK'系における速度w'の間には

という速度の合成則が成り立つ。特別な場合として、w＝cとすればw'＝cとなり、どの座標系でも光速は一定であることが確かめられる。これは、光が静止してみえる慣性系は存在しないことを意味する。すべての慣性系では光速は一定であるという法則が成立するのである。つまり、光速に近い速度で運動する素粒子が崩壊して光を発する場合も、けっして速度の加算になるのではなく光速のままであることが、実験により検証されている。

［佐藤文隆］

質量エネルギー

力学法則は特殊相対性理論に適合するように修正されたが、その結果、明らかになった重要な概念に質量エネルギーがある。これは質量mとエネルギーEは等価であって、E＝mc²のエネルギーを含むということである。運動量pの粒子の全エネルギーは

で表される。光は質量がゼロの粒子として扱われる。

　アインシュタインの関係式(4)は、原子核からの放射能エネルギーや素粒子の生成・消滅を理解する基礎を与えた。原子力エネルギーは、質量のわずかな部分がエネルギーに転化するものとして理解できる。また、γ(ガンマ)線により電子・陽電子対が生成される過程は、γ線のエネルギーが電子の質量エネルギーに転化したものとして理解される。また特殊相対性理論は、素粒子を場によって記述する基礎をも与えた。こうして質量をもつ素粒子も質量ゼロの光も同等に扱うことが可能になり、量子力学の確立とあわせて、今日における素粒子像の形成をもたらした。

［佐藤文隆］

ミンコフスキー空間

ローレンツ変換式(2)より
　　－c²t'²＋x'²＋y'²＋z'²
　　　＝－c²t²＋x²＋y²＋z²
を確かめることができる。これは、時間と空間をいっしょにした四次元空間における「長さ」が、ローレンツ変換によって不変であることを示している。ただし、ここで「長さ」はユークリッド空間（縦、横、奥行の三次元の空間）の場合と異なり、2点間の座標差をdx^μ(μ＝0,1,2,3)とすれば「長さ」の2乗ds²は
　　ds²＝η_μνdx^μdx^ν　(5)
で表される。ここで添字μ、νは0から3までの和をとる。計量テンソルη_μνは、
　　η₀₀＝－1,η₁₁＝η₂₂＝η₃₃＝1
で、その他はゼロである。「長さ」がこのような計量テンソルで与えられる四次元の空間を、ミンコフスキー空間とよぶ。ローレンツ変換は、この空間における一種の回転として理解される。特殊相対性理論は、1907年のミンコフスキーによるこのような認識によって完成されたといえる（図C）。

［佐藤文隆］

ローレンツ群と素粒子

ミンコフスキー空間における回転変換のローレンツ群に対して不変な表式が物理法則であるというのが、この理論の到達点である。そこで、このローレンツ群と等価な群に従うスピンという量が、ディラックにより導入され、このスピンは反物質の存在を明らかにし、電子などの素粒子を記述する場であることがわかった。このように、ローレンツ群に対する不変性の要請（公理）は、単に法則が従うべき規範であるだけでなく、物質存在そのものを演繹(えんえき)する法則として活躍したのである。さらに相対性原理から出発した法則の規定の仕方である、変換群に対する不変性の要請は、その後、時間・空間座標の変換を離れて広く用いられるようになった。

　この考えは対称性の理論とよばれる。現在では、特殊相対性理論もこうした自然に存在する対称性の一つの発見であったと認識されている。その変換群は抽象的なローレンツ群であり、この群の座標という量についての特殊な表現が、運動座標系間の変換であるという見方になっている。

［佐藤文隆］

一般相対性理論

ニュートンの重力理論は相対性原理を満たしていないため、新しい重力理論が必要となった。アインシュタインは、慣性力と重力とは等価であるという実験事実に基づく等価原理を基礎として理論を組み立てた（図D）。重力は万有引力とよばれるように、すべての物体に平等に働き、同様に、加速度に質量を掛けた慣性力もやはりすべてに平等に働く。この事実を用いれば、慣性系に対して加速度運動をする座標系をとれば、つねに重力を打ち消して無重力にできる。そして、無重力系での物理法則をそれに対して加速度運動する座標系で記述するのが、一般相対性理論の数学的構造である。

　このように、慣性系でない一般座標系まで拡張して物理法則を表現するには、ミンコフスキー空間をリーマン空間に拡張しなければならない。リーマン空間の2点間の距離の2乗は
　　ds²＝g_μν(x)dx^μdx^ν　(6)
となる。ここでは計量テンソルg_μνは場所と時間の関数である。座標系を変換すれば他の物理量もg_μνも変換されるが、変換された新しい量の間には同じ関係が成立する。重力の作用は計量テンソルに表現されている。弱い重力の近似ではニュートンの重力ポテンシャル∅(x)は計量テンソルとg₀₀＝1－2∅(x)/c²のように関連している。このため重力がある場合には、このリーマン空間は一般には曲がった空間となる。

　計量テンソルを決める法則は、重力ポテンシャルを決めるポアソン方程式を一般化したアインシュタインの重力場方程式である。

ここでR_μνはg_μνの二階微分を含むリッチ・テンソル、T_μνはエネルギー・テンソルである。Gはニュートンの重力定数で、この方程式は、エネルギーの分布によって四次元空間の計量テンソルが決まることを表している。時間・空間の構造は不動のものではなく物質の存在によって影響を受ける。このことはニュートンの絶対慣性系の考えを突き崩すものであり、19世紀末にマッハがニュートン力学の批判を通じて予言していたことであった。

　1917年、アインシュタインは物質密度が一様な静的宇宙モデルをつくるために、重力の引力に対抗する普遍的な斥力(せきりょく)を仮定する必要性に気づき、前記の方程式(7)を次のように拡張した。

　アインシュタインは、宇宙は閉じた空間であると考え、全宇宙空間の大きさが上式のλ(ラムダ)で決まるとした。この意味でλを宇宙定数（宇宙項）とよんだ。しかし、その後1929年にアメリカの天文学者ハッブルによって宇宙膨張が観測的に検証されて、宇宙項はあってもよいが不可欠なものではなくなった。宇宙項はT_μ_νに組み入れて、真空のエネルギー密度と解釈できる。

　一方、1960年代の後半に、素粒子の場の量子論による統一理論の試みのなかで「真空」の新しい考え方が提案され、現在の標準理論もこの真空理論を基礎にしている。この理論では真空は何もないことではなく、ヒッグス場という真空場が有限であるということである。

　1980年代から、膨張宇宙の起源論として、大統一理論の真空場が宇宙項のように斥力に作用するとするインフレーション説の試みがなされてきた。また、超新星を標準光源とした距離測定法で、20世紀末には宇宙膨張が加速膨張であること、また2002年には宇宙マイクロ波背景観測衛星WMAPでの宇宙初期の密度ゆらぎの測定によっても、現在の加速膨張につながる宇宙のエネルギー密度で宇宙項に相当するダークエネルギーが卓越していることが確認された。ただし、このダークエネルギーの大きさは、存在がほぼ確かなヒッグス場や仮説的なインフレーション説の真空場の斥力の大きさより120桁以上小さいものであり、同質のものであるかどうかは明らかでない。

［佐藤文隆］

実験的検証

一般相対性理論が提唱された当時、その実験的検証とされたものは、次の三つであった。

(イ)スペクトル線の重力赤方偏移
(ロ)太陽重力での光径路の湾曲（図E）
(ハ)水星軌道の近日点の移動
　(イ)は、初め太陽や白色矮星(わいせい)で測られたが、1960年になって地上重力でのγ線に対する効果としても測られている。(ロ)は、1919年の日食の際に初めて観測され、この理論の真価を広く世界に知らしめた。1970年代に入って、クエーサーからの電波についてもこの効果が測られている。またクエーサーが手前にあるブラック・ホールのレンズ効果で二つに見える現象もこの効果の一つである。(ハ)は、19世紀の天体力学が指摘していた問題に解決を与えたものであった。1960年代から1970年代にかけてマリナー、バイキングなどの人工天体を用いて、この効果が測られた。

　1960年代に入って新しく加わった実験に
(ニ)レーダー・エコーの時間の遅れ
(ホ)人工衛星上のジャイロスコープの歳差運動
がある。(ニ)は、太陽近傍の空間が曲がっているため、そこを光が通過する時間が長くなる効果を測ったものである。(ホ)は、地球の自転に伴う新しい重力効果をみるものであるが、まだ検出に成功していない。

　これらは、すべて太陽系内の実験であったが、1974年に発見されたパルサーの二重星のシステムは、(ハ)、(ニ)の効果の他の天体での観測を可能にした。(ハ)は、水星では100年に43秒角と小さいが、パルサー二重星では1年に4度角と3万倍も大きい。

［佐藤文隆］

重力崩壊

一般相対性理論は、宇宙現象についても、いくつかの新しい事象を予言している。その一つは、星の進化の最終状態に現れる重力崩壊と、その結果として生ずるブラック・ホールの形成である。相対性理論の要請（公理）は、無限に固い物体の存在を否定する。このため、十分に重い天体はかならず収縮する。重力が強くなると、光でも捕捉(ほそく)されるようになり、星を形成するすべての物質は一点にまで圧縮されることになる。これを重力崩壊といい、途中で収縮を止めることはできないことが特異点定理で証明されている。

　重力崩壊の際には、大量の重力波がミリ秒程度の短い時間にバースト状に放出される。その結果として、最終的に実現する重力場の構造は非常に単純なものに落ち着くと考えられている。その構造は、特異点が事象の地平線に囲まれたブラック・ホールになるという推測である。この仮定を宇宙検閲仮説という。この仮定が正しいとすれば、ブラック・ホールの形態は質量と角運動量だけで完全に決まることになる。

［佐藤文隆］

ブラック・ホール

質量Mの物体が重力崩壊した場合、半径がr_g＝2GM/c²以下になると外から見えなくなり、半径r_gの表面で囲まれる内部からは光も物体もいっさい外に出られなくなる。ただしこの表面を通過して光や物体は吸収される。このように吸収する一方であるという性格を表現するため、ブラック・ホールの名称が1970年ころから用いられるようになった。また、このように内部からの情報を外に出さない限界の表面は事象の地平線（または地平面）とよばれる。地平線内には、すでに見た物体が落下していくが、地平線内に入ってしまうと、その物体でおこるできごと（事象）が見えなくなるという意味である。宇宙検閲仮説が正しければ、ブラック・ホールの時空構造はシュワルツシルト時空、回転のある場合はカー時空で与えられる。カー時空はシュワルツシルト時空を特殊な場合に含んでいる。事象の地平線をもつブラック・ホールは、カー時空が唯一であると考えられている。

　物理法則は、時間の反転に対して対称的であるので、吸収する一方のブラック・ホール解に対応して放出する一方のホワイト・ホール解も存在する。事象の地平線は今度はそこを通過して入れない面となる。ホワイト・ホールはそれをつくる過程がないため存在していないと考えられている。

［佐藤文隆］

宇宙の時空構造

宇宙全体の時間・空間構造も一般相対性理論により決定される。宇宙は時間的に拡大しつつある三次元の一様な曲率をもつ空間である。大域的にみて閉じた空間であるか否かは、ダイナミクス（動力学）だけからは決定できない。多連結の空間である可能性もある。また統一理論の観点から、宇宙空間を多次元空間の部分空間の面上に局限されているとみなす「ブレーンワールド（膜宇宙）」の考えも試みられている。

［佐藤文隆］

量子重力・統一理論

重力の量子効果は、プランク長さ

以下の超微視的世界で重要になる。この研究ではまたすべての相互作用の統一理論が試みられている。一般相対性理論は、この段階でより一般的な形の非量子論的な近似式であると考えられている。統一理論の試みでは多次元空間への拡張があり、それが四次元時空とコンパクトな内部空間に分離し、内部空間では素粒子相互作用の根拠となるゲージ対称性（ゲージ不変性ともいう。測定の基準を変えても物理法則が変わらないこと）が成立することとなる。また量子論を矛盾なく適用するために、空間は点の集合ではなく、超対称性をもつ二次元のひも（ストリング）の集合とみなす「超ひも理論（超弦理論もしくはスーパーストリング理論ともいう）」が展開されている。

［佐藤文隆］

『アインシュタイン著、矢野健太郎訳『相対論の意味』（1958・岩波書店）』▽『佐藤文隆、R・ルフィーニ著『ブラックホール――一般相対論と星の終末』（1976・中央公論社・自然選書）』▽『西尾成子編『アインシュタイン研究』（1977・中央公論社・自然選書）』▽『ウォルフガング・リンドラ著、小沢清智・熊野洋訳『特殊相対性理論』（1989・地人書館）』▽『S・ギビリスコ著、小島英夫訳『図説　アインシュタインの相対性理論――特殊および一般相対性理論と宇宙論』（1989・大竹出版）』▽『エル・ヤ・シュテインマン著、水戸厳訳『空間と時間の物理学』新装版（1989・東京図書）』▽『木村利栄・太田忠之著『古典および量子重力理論』（1989・マグロウヒル出版）』▽『冨田憲二著『相対性理論』（1990・丸善）』▽『アルバート・アインシュタイン著、金子務訳『特殊および一般相対性理論について』（1991・白揚社）』▽『マーティン・ガードナー著、金子務訳『相対性理論が驚異的によくわかる』改訂新版（1992・白揚社）』▽『砂川重信著『相対性理論の考え方』（1993・岩波書店）』▽『エルンスト・カッシーラー著、山本義隆訳・解説『アインシュタインの相対性理論』改訂新装版（1996・河出書房新社）』▽『松田卓也・二間瀬敏史著『なっとくする相対性理論』（1996・講談社）』▽『小玉英雄著『相対性理論』（1997・培風館）』▽『山下芳樹著『対話形式　相対論への探究――知的文化遺産として』（2000・コロナ社）』▽『佐藤文隆・小玉英雄著『一般相対性理論』（2000・岩波書店）』▽『窪田高弘・佐々木隆著『相対性理論』（2001・裳華房）』▽『講談社サイエンティフィク編、竹内薫著『ゼロから学ぶ相対性理論』（2001・講談社）』▽『恒岡美和著『明解　相対性理論入門――正しい理解を求めて』（2003・聖文新社）』▽『佐藤勝彦監修『図解　相対性理論がみるみるわかる本』（2003・PHP研究所）』▽『アインシュタイン、インフェルト著、石原純訳『物理学はいかに創られたか――初期の観念から相対性理論及び量子論への思想の発展』上下（岩波新書）』▽『内山龍雄著『相対性理論入門』（岩波新書）』▽『A・アインシュタイン著、内山龍雄訳『相対性理論』（岩波文庫）』