Linear form

Japanese: 線形形式 - せんけいけいしき（英語表記）linear form

A linear mapping from a linear space V over a field K to K is called a linear form, or a linear form. When V is finite-dimensional, take a basis e ₁ , …, _en of V. If f is a linear form, then f ( e _i )＝α _i ∈ K , and for an element x = x ₁ e ₁ + … + x _n _en of V , f ( x )＝ x ₁ f ( e ₁ )＋…… ＋x _{n f ( en} ₎ ＝ α ₁ x ₁ +……＋α _n x _n . Therefore, f can be expressed as a linear homogeneous formula of n variables over K. Generalizing this idea, a mapping _f _from the Cartesian product V1 × ... × Vr of linear spaces V1 _, ..., _Vr over K to K , such that for each i , f ( a1 _, ..., ai _{- 1} _, αai + _βbi , ai ₊₁ , ..., ar ) = αf ₍ a1 , ..., ai _{- 1} , ai , _ai ₊₁ , _... , an ₎ + βf ₍ a1 , ..., ai _{- 1} , ai _, ai ₊₁ , ... , an ) _, is called a multilinear form.

Source: Heibonsha World Encyclopedia, 2nd Edition Information

Japanese:

体K上の線形空間VからKへの線形写像のことを線形形式，または一次形式という。Vが有限次元のとき，Vの基底e₁，……，e_nを取る。fが線形形式ならば，f(e_i)＝α_i∈Kであり，Vの元x＝x₁e₁＋……＋x_ne_nについて，f(x)＝x₁f(e₁)＋……＋x_nf(e_n)＝α₁x₁＋……＋α_nx_nとなる。したがって，fはK上のn変数一次斉次式で表される。この考えを一般化して，K上の線形空間V₁，……，V_rの直積V₁×……×V_rからKへの写像fで，各iについて，f(a₁，……，a_i－1，αa_i＋βb_i，a_i＋1，……，a_r)＝αf(a₁，……，a_i－1，a_i，a_i＋1，……，a_n)＋βf(a₁，……，a_i－1，a_i，a_i＋1，……，a_n)が成立するものを多重線形形式という。

出典　株式会社平凡社世界大百科事典第２版について　情報

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