Asymptote

If there is a plane curve F(x,y)=0, and a moving point P moves infinitely farther from the origin along the curve, if there exists a constant line whose distance from P is infinitesimal, this line is called the asymptote of the curve. Examples of curves with asymptote include hyperbolas and Cartesian lobes. Asymptote can also be considered when the curve is given in polar coordinates, rather than in Cartesian coordinates, in the form F(r,θ)=0. This is the case of a conchoid.

Let the equation of the asymptote be y=mx+b. As the points move infinitely farther along the curve,

Conversely, if there are such values ​​of m and b, then y=mx+b is the asymptote of this curve. Here, lim represents the limit value calculated using the x and y coordinates of a point on the curve when the point is moved infinitely far along the curve.

[Osamu Takenouchi]

Source: Shogakukan Encyclopedia Nipponica About Encyclopedia Nipponica Information | Legend

平面上の曲線F(x,y)=0があり、動点Pが曲線に沿って原点から無限に遠ざかるとき、Pからの距離が無限小となる定直線が存在する場合、この直線をこの曲線の漸近線という。漸近線をもつ曲線の例としては、双曲線、デカルトの葉形などがある。曲線が直交座標でなく、極座標についてF(r,θ)=0の形で与えられるときも、漸近線は考えられる。コンコイドの場合がそうである。

　漸近線の方程式をy=mx+bとする。曲線に沿って点が無限に遠ざかるとき、

であり、逆にこのような値m、bがあるならば、y=mx+bはこの曲線の漸近線になる。ここでlimは、曲線上の点のx座標、y座標を用いて計算される値を、曲線に沿って点を無限に遠ざけたときの極限値であることを表している。

［竹之内脩］

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