Convergence - shuusoku (English spelling) convergence

Japanese: 収束 - しゅうそく（英語表記）convergence

A mathematical term that means to approach a certain value infinitely. Formerly known as convergence.

Convergence of a sequence

In a sequence of numbers a ₁ , a ₂ ,……, a _n ,……, if the index n becomes infinitesimally large and the value of a _n approaches a certain value A , then a _n is said to converge to A. A is called the limit value of this sequence,

A sequence that does not converge is said to diverge. The following theorem is the basis for discussing the convergence of a sequence.

(1) Monotonically increasing. A bounded sequence converges to a limiting value. That is, if a ₁ ≦ a ₂ ≦ … (monotonically increasing), and there is a constant M such that a _n ≦ M (upper bounded) for all n , then there is a value A such that

It becomes.

(2) If the sequence is a fundamental sequence, it will converge. A fundamental sequence is a sequence in which the absolute value of the differences between the numbers becomes infinitesimally small as you go further in the sequence.

[Osamu Takenouchi]

Convergence of function values

Consider a function f ( x ) of one real variable. Suppose this function is defined near x = a (it may or may not be defined at x = a ). For a certain number A , take any sequence of numbers x ₁ , x ₂ , … that converges to a and is different from a ,

If so, this is said to be "as x approaches a , f ( x ) converges to A ",

A is called the limit value when x approaches a . Furthermore, the limit value when x approaches a while x < a is defined . This is called the left limit value,

Alternatively, it can be expressed as f ( a －0). Similarly, the right limit value

Or f ( a ＋0) is defined. One condition for f ( x ) to have a limit value when x → a is that f ( a －0) and f ( a ＋0) both exist and are equal.

The above applies to functions of one variable, but similar arguments can also be made for functions with many variables (functions of many variables), or when the values of a function are points in a high-dimensional space (maps or transformations).

[Osamu Takenouchi]

Convergence of a sequence of functions

_When there is a sequence _of functions f1 ( x ), f2 ( x ), ... defined on a set D , if the sequence f1 ₍ x ), f2 ( x ), ... always converges for any element x of D , then a function f ( x ) can be obtained by corresponding _its limit value to x . This function is called a limit function, and in this case, the sequence of functions f1 ( x ), f2 ₍ x ), ... is said to converge to f ( x ) (or, more specifically _, converge at each point),

The pointwise convergence of a sequence of functions alone does not fully capture the properties of the limit function. The concepts of uniform convergence and average convergence are important in the discussion of the convergence of a sequence of functions.

[Osamu Takenouchi]

εδ method

What has been said above is a conceptual discussion of convergence, and is not mathematically precise. Strictly speaking, convergence is defined as follows: "For a sequence of numbers a1 , _a2 , ..., if there is a number A , and for any ε>0, if a suitable natural number N is chosen, then a _n is said to converge to A if | a _n - A |≦ε is true for all natural numbers n such that n ≧ N. " Also, for a sequence _of numbers a1 , a2 , ... _, if _a suitable natural number N is chosen, then for any ε>0, if | a n - a _m |≦ε is true for all natural numbers n and m such that n , m ≧ N , then this sequence is called a fundamental sequence or a Cauchy sequence. A necessary and sufficient condition for a sequence _of _numbers a1 , a2 , ... to converge to _a number A is that it is a fundamental sequence. Next, for a function f ( x ) defined near x = a , if there is a number A , and for any ε > 0, if δ > 0 is appropriately taken, then for all x such that | x - a | ≦ δ, x ≠ a , if | f ( x ) - A | ≦ ε holds, then f ( x ) converges to A. This is very different from the definition given above, but the meaning is the same. It is said that the 17th century British mathematician Wallis was the first to develop a rigorous logical explanation for convergence in this way. It began to be used in general from the mid-19th century. It first appeared in university mathematics in Japanese mathematics education. Since it is often discussed using ε and δ, it is called the ε-δ method (epsilon-delta method).

[Osamu Takenouchi]

[Reference] | Uniform convergence | Function spaces

Examples of convergent sequences
©Shogakukan ">

Examples of convergent sequences

Source: Shogakukan Encyclopedia Nipponica About Encyclopedia Nipponica Information | Legend

Japanese:

ある値に限りなく近づくことを表す数学用語。以前は収斂(しゅうれん)ともいった。

数列の収束

数列a₁, a₂,……, a_n,……において、添数のnが限りなく大きくなるとき、a_nの値がある値Aに限りなく近づくならば、a_nはAに収束するという。Aをこの数列の極限値とよび、

と書く。収束しない数列は発散するという。数列の収束を論ずる際に基礎となるのは次の定理である。

(1)単調増加。有界な数列は、ある極限値に収束する。すなわち、a₁≦a₂≦‥‥‥であり（単調増加）、かつある定数Mがあって、すべてのnについてa_n≦M（上に有界）であるならば、ある値Aがあって、

となる。

(2)数列が基本列ならば収束する。基本列というのは、先のほうに行くにしたがってお互いどうしの差の絶対値がいくらでも小さくなるような数列のことである。

［竹之内脩］

関数値の収束

一つの実変数の関数f(x)を考える。この関数がx＝aの近くで定義されているとする（x＝aでは定義されていてもいなくてもよい）。ある一定の数Aがあって、aに収束し、かつaと異なる数列x₁, x₂,……を任意にとったとき、

となるならば、これを「xがaに近づくとき、f(x)はAに収束する」といい、

で表し、Aを、xがaに近づくときの極限値という。さらにx＜aでありながらxがaに近づくときの極限値が定義される。これを左側極限値といって、

あるいはf(a－0)で表す。同様に右側極限値

あるいはf(a＋0)が定められる。f(x)がx→aのときの極限値を有するための一つの条件はf(a－0), f(a＋0)がともに存在して相等しいことである。

　以上は1変数の関数の場合であったが、同様のことは変数の数が多い場合（多変数関数）についてもいえるし、関数の値が高次元空間の点の場合（写像または変換）にも適用される。

［竹之内脩］

関数列の収束

ある集合Dの上で定義された関数の列f₁(x), f₂(x),……があるとき、Dの任意の要素xに対して、数列f₁(x), f₂(x),……がつねに収束するならば、その極限値をxに対応させて一つの関数f(x)が得られる。この関数を極限関数といい、このとき、関数列f₁(x), f₂(x),……はf(x)に収束（あるいは、詳しくは各点収束）するといって、

で表す。関数列が各点収束するだけでは、極限関数の性質を十分に得ることができない。関数列の収束の議論には、一様収束および平均収束の概念が重要である。

［竹之内脩］

εδ論法

以上述べてきたことは、収束についての概念的な論じ方であって、数学的に十分に精密な議論ではない。厳密には、収束を次のように定義して論じる。「数列a₁, a₂,……について、ある数Aがあって、どのようなε＞0に対しても、自然数Nを適当にとれば、n≧Nであるようなすべての自然数nに対して、|a_n－A|≦εが成り立つとき、a_nはAに収束するという」。また、数列a₁, a₂,……について、どのようなε＞0に対しても、自然数Nを適当にとれば、n, m≧Nであるようなすべての自然数n、mに対して、|a_n－a_m|≦εが成り立つとき、この数列を基本列あるいはコーシー列という。数列a₁, a₂,……がある数Aに収束するための必要十分条件は、それが基本列であることである。次に、x＝aの近くで定義された関数f(x)に対して、ある数Aがあって、どのようなε＞0に対しても、適当にδ＞0をとれば、|x－a|≦δ, x≠aであるようなすべてのxに対して、|f(x)－A|≦εが成り立つとき、f(x)はAに収束するという。これは先に与えた定義と非常に異なるが、内容は同じことになる。収束についてのこのような形の厳密な論理展開は、17世紀イギリスの数学者ウォリスが初めてだといわれている。一般に用いられるようになったのは、19世紀中ごろからである。日本の数学教育のなかでは、大学の数学で初めて登場する。εとδを用いて論じられることが多いのでεδ論法(イプシロンデルタろんぽう)という。