Eigenvalue - Koyuuchi (English spelling) eigenvalue

For an n-th order square matrix A＝(a _ij ) whose elements are complex numbers (including the case of real numbers; the same applies below) and a complex number λ,
[1] Ax = λx
A non-zero n-dimensional column vector that satisfies

If there is, λ is called an eigenvalue of matrix A, and x is called an eigenvector for A's eigenvalue λ. For example,

given that

Therefore, λ = 2 is an eigenvalue of A,

is the eigenvector for λ = 2. The problem of finding the eigenvalues ​​and eigenvectors of a given square matrix is ​​called an eigenvalue problem.

If E _n is the nth order unit matrix, then equation (1) becomes (2) (λE _n -A)x＝0
In the n-th order square matrix (λE _n －A), replace the complex number λ with the variable t to create the n-th order square matrix (tE _n －A). The determinant is

is called the characteristic polynomial of matrix A. This polynomial ψ _A (t) is a polynomial of variable t with (1) degree n and the highest coefficient being 1, (2) the coefficient of t ^n-1 is -traceA = -(a ₁₁ +a ₂₂ + ... +a _nn ), and (3) the constant term is (-1) ⁿ detA. For example,

Against

It is.

For a given square matrix A and complex number λ, the necessary and sufficient condition for the simultaneous linear equations [2] with unknowns x ₁ , x ₂ , ..., x _n to have a solution other than zero is det(λE _n -A)＝ψ _A (λ)＝0.
Therefore, the eigenvalues ​​of matrix A are the same as the roots of the characteristic polynomial ψ _A (t). Therefore, the eigenvalue problem can be solved by the following procedure. First, create the characteristic polynomial ψ _A (t) and find its roots λ ₁ , λ ₂ , ..., λ _n . Next, find a non-zero solution x of the simultaneous linear equations (λ _i E _n -A)x = 0 for each λ _i , and obtain the eigenvalue λ _i of A and its corresponding eigenvector x. For example,

For , the characteristic polynomial is ψ _A (t) = t ² - 7t + 10, with roots λ ₁ = 2, λ ₂ = 5. For _{λ 1} ,

The solution is -x ₁ -2x ₂ = 0, so

The example at the beginning has the form c＝－1. Similarly, for λ ₂ ,

The solution is

For example, if c = 1,

is the eigenvector for _λ2 .

In this way, an n-th order square matrix A has at most n eigenvalues, but there are an infinite number of eigenvectors for each eigenvalue λ. Let _{W λ} be the set of all the eigenvectors for the eigenvalue λ of matrix A and 0 (zero vector). W _λ is a subspace of the linear space C ⁿ created by all n-dimensional vectors. W _λ is called the eigenspace of matrix A for the eigenvalue λ.

For n-th order square matrices A and B, if there is an n-th order regular matrix (i.e., a matrix whose inverse exists) P ​​such that B＝P ^- 1AP, then A and B are said to be similar. For example,

Then,

Therefore, A and B are similar. A similarity relation is an equivalence relation. Two similar square matrices have a common characteristic polynomial, and therefore their eigenvalues ​​are the same. Furthermore, the dimensions of the eigenspaces for the common eigenvalues ​​are equal. Since similar matrices share important properties as matrices in this way, it is an effective research method to find a simpler matrix B that is similar to A, given a square matrix A. Regarding this, a necessary and sufficient condition for a matrix A to be similar to a diagonal matrix is ​​that, for each eigenvalue of A, the dimension of the eigenspace W _λ coincides with the multiplicity of the root λ in the characteristic polynomial ψ _A (t). In particular, it is known that A is similar to a diagonal matrix when all of A's eigenvalues ​​are distinct.

For a linear transformation T of a complex linear space V and a complex number λ, if there is a nonzero element x of V such that T(x)＝λx, then λ is called an eigenvalue of the linear transformation T, and x is called an eigenvector for the eigenvalue λ of T. An eigenvector x is a vector whose direction does not change due to T. As with matrices, eigenvalue problems can also be considered for linear transformations, but if we take a basis e ₁ ,……, _en of V,

If we create a square matrix A = (a _ij ) with a _ij such that

If x ₁ e ₁ + ... + x _n e _n is the eigenvector of A for eigenvalue λ, then x 1 e 1 + ... + x n e n is the eigenvector of T for eigenvalue λ, and the converse is also true, so the eigenvalue problem of linear transformation T is completely reduced to the eigenvalue problem of matrix A.

[Tsuneo Kanno]

Source: Shogakukan Encyclopedia Nipponica About Encyclopedia Nipponica Information | Legend

複素数（実数の場合を含む。以下同様）を成分とするn次正方行列A＝(a_ij)と複素数λに対して、
　　〔1〕　Ax＝λx
を満たすゼロベクトルでないn次列ベクトル

があるとき、λを行列Aの固有値といい、xをAの固有値λに対する固有ベクトルという。たとえば

とすれば

であるから、λ＝2はAの固有値で、

はλ＝2に対する固有ベクトルである。与えられた正方行列の固有値と固有ベクトルを求める問題を固有値問題という。

　E_nをn次単位行列とすると、〔1〕式は
　　〔2〕　(λE_n－A)x＝0
となる。n次正方行列(λE_n－A)で複素数λを変数tに置き換え、n次正方行列(tE_n－A)をつくる。その行列式

を行列Aの固有多項式または特性多項式という。この多項式ψ_A(t)は、(1)次数nで最高次の係数1、(2)t^n-1の係数は －traceA＝－(a₁₁＋a₂₂＋……＋a_nn)、(3)定数項は(－1)ⁿdetAなる変数tの多項式である。たとえば

に対して

である。

　与えられた正方行列Aと複素数λに対して、未知数x₁、x₂、……、x_nの連立一次方程式〔2〕がゼロ解以外の解をもつ必要十分条件は
　　det(λE_n－A)＝ψ_A(λ)＝0
であるから、行列Aの固有値は固有多項式ψ_A(t)の根と一致する。したがって固有値問題は次の手順で解ける。まず固有多項式ψ_A(t)をつくり、その根λ₁、λ₂、……、λ_nを求め、次に、各λ_iに対して連立一次方程式(λ_iE_n－A)x＝0のゼロ解でない解xを求め、Aの固有値λ_iとそれに対する固有ベクトルxを得る。たとえば

に対して固有多項式はψ_A(t)＝t²－7t＋10で、その根はλ₁＝2、λ₂＝5である。λ₁に対して、

の解は－x₁－2x₂＝0であるから、

の形をしており、c＝－1としたものが冒頭の例である。同様にλ₂に対して、

の解は

の形をしており、たとえばc＝1とした

はλ₂に対する固有ベクトルである。

　このように、n次正方行列Aの固有値はたかだかn個であるが、各固有値λに対する固有ベクトルは無数にある。W_λを、行列Aの固有値λに対する固有ベクトル全体と0（ゼロベクトル）のつくる集合とする。W_λはn次元ベクトル全体のつくる線形空間Cⁿの部分空間である。W_λを行列Aの固有値λに対する固有空間という。

　n次正方行列A、Bに対し、n次正則行列（すなわち逆行列の存在する行列）PがあってB＝P^-1APとなるとき、AとBは相似であるという。たとえば

とすると、

であるから、AとBは相似である。相似関係は同値関係である。相似である二つの正方行列は共通の固有多項式をもち、したがって固有値は一致する。さらに共通の固有値に対する固有空間の次元は等しい。このように相似である行列は行列としての重要な性質を共有するから、与えられた正方行列Aに対し、より簡単な行列BでAに相似であるものをみつけることが有力な研究手段になる。これについては、行列Aが対角行列に相似であるためには、Aの各固有値に対し、固有空間W_λの次元が固有多項式ψ_A(t)における根λの重複度に一致することが必要十分条件であり、とくにAの固有値がすべて相異なるとき、Aは対角行列に相似であることが知られている。

　複素線形空間Vの線形変換Tと複素数λに対し、T(x)＝λxを満たすようなゼロ元でないVの元xがあるとき、λを線形変換Tの固有値といい、xをTの固有値λに対する固有ベクトルという。固有ベクトルxはTによって方向の変わらないベクトルである。線形変換に対しても行列と同様に固有値問題が考えられるが、Vの基底e₁,……, e_nをとり、

なるa_ijで正方行列A＝(a_ij)をつくると、TとAの固有値は一致し、

がAの固有値λに対する固有ベクトルなら、x₁e₁＋……＋x_ne_nはTの固有値λに対する固有ベクトルで、逆も成り立つから、線形変換Tの固有値問題は、完全に行列Aの固有値問題に帰着される。

［菅野恒雄］

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