Changing of the guard ceremony

In a polynomial with n variables x ₁ , x ₂ , ..., x _n , if exchanging any two variables results in an equation with only the sign of the original equation changed, then the equation is said to be an alternating equation with respect to x ₁ , x ₂ , ..., x _n . For example, a polynomial with two variables x and y, f(x, y)＝x ³ －x ² y＋xy ² －y ³
Swap x and y to create a new polynomial.

f(y, x)=y ³ -y ² x+yx ² -x ³
This polynomial is the original polynomial f(x, y) multiplied by -1. In other words, f(y, x)＝-f(x, y)
An alternating polynomial is a polynomial that considers these properties by increasing the number of variables. In other words, if you swap x _i and x j for different i and _j in a polynomial f(x ₁ , x ₂ , …, _{x n )} with n variables x ₁ , x ₂ , …, x n , you can get f(x ₁ , x ₂ , …, x _j , …, x _i , …, x _n ) from the original polynomial f(x ₁ , x ₂ , …, x _i , …, x _j , …, x _n ). When comparing these two polynomials,
(*) f(x ₁ ,…, x _i ,…, x _j ,…, x _n )=−f(x ₁ ,…, x _j ,…, x _i ,…, x _n )
When this holds for any distinct i and j, the polynomial f is called an alternating polynomial. Instead of (*), f(x ₁ ,…, x _i ,…, x _j ,…, x _n )＝f(x ₁ ,…, x _j ,…, x _i ,…, x _n )
The equation is symmetric.

The sum and difference of two alternating expressions are also alternating expressions, but their product is a symmetric expression. Also, the product of a symmetric expression and an alternating expression is an alternating expression. The simplest and most important alternating expression in n variables is

This Δ n is called a difference product because it is the product of subtracting (x _i -x _j ) for all i and j such that 1≦i＜j≦n. For example, Δ ₂ ＝x ₁ －x ₂ ,
Δ ₃ = (x ₁ - _{x 2} )(x ₁ - x ₃ )(x ₂ - _{x 3} )
(*) If we substitute x _i = x _j in the formula, we get f(x ₁ ,…, x _i ,…, x _i ,…, x _n ) = -f(x ₁ ,…, x _i ,…, x _i ,…, x _n )
Therefore, we obtain f(x ₁ , ..., x _i , ..., x _i , ..., x _n ) = 0, so the alternating function f(x ₁ , ..., x _n ) has a solution x _j as a univariate polynomial in x _i and is divisible by (x _i - _{x j} ). Therefore, since it is divisible by any difference (x _i - _{x j} ) (i < j), it is divisible by their product, the difference product Δ n.

f(x ₁ ,……, x _n )= Δ n・s(x ₁ ,……, x _n )
Consider a polynomial s(x ₁ ,……,x _n ) such that f and Δ n are symmetric, so s is a symmetric equation. Using the Fundamental Theorem of Symmetric Equations, s is a polynomial in the fundamental symmetric equations s ₁ , s ₂ ,……,s _n . Here,

Therefore, any alternating function is the product of a polynomial and a difference product of an elementary symmetric function. This result is used to factorize alternating functions, for example, x ³ -x ² y + xy ² -y ³
is an alternating function, so it can be divided by Δ ₂ ＝x－y. When you actually do the division, you get the quotient x ² ＋y ² , so x ³ －x ² y＋xy ² －y ³
= Δ ₂ (x ² + y ² )= Δ ₂ (s ₁ ² −2s ₂ )
It becomes.

[Tsuneo Kanno]

Source: Shogakukan Encyclopedia Nipponica About Encyclopedia Nipponica Information | Legend

n個の変数x₁、x₂、…、x_nの多項式において、任意の二つの変数を交換すると、もとの式の符号だけを変えた式が得られるとき、その式はx₁、x₂、…、x_nに関する交代式であるという。たとえば、二つの変数x、yの多項式
　　f(x, y)＝x³－x²y＋xy²－y³
のxとyを入れ換えて新しい多項式をつくる。

　　f(y, x)＝y³－y²x＋yx²－x³
この多項式はもとの多項式f(x, y)に－1を掛けたものになる。つまり
　　f(y, x)＝－f(x, y)
　このような多項式の性質を、変数を増やして考えたものが交代式である。つまり、n個の変数x₁、x₂、…、x_nの多項式f(x₁, x₂,…, x_n)で異なるiとjに対し、x_iとx_jを入れ換えると、もとの多項式f(x₁, x₂,…, x_i,…, x_j,…, x_n)からf(x₁, x₂,…, x_j,…, x_i,…, x_n)ができる。この二つの多項式を比べたとき、
　　（＊）　f(x₁,…, x_i,…, x_j,…, x_n)＝－f(x₁,…, x_j,…, x_i,…, x_n)
が任意の相異なるiとjに対して成り立つとき、この多項式fを交代式という。（＊）のかわりに
　　f(x₁,…, x_i,…, x_j,…, x_n)＝f(x₁,…, x_j,…, x_i,…, x_n)
が成り立つのが対称式である。

　二つの交代式の和、差はまた交代式であるが、積は対称式になる。また、対称式と交代式の積は交代式である。n変数の交代式でいちばん簡単で重要なものは

である。このΔnは1≦i＜j≦nなるすべてのi、jに対し、差(x_i－x_j)をつくり、その積をとったものであるから、差積といわれる。たとえば
　　Δ₂＝x₁－x₂,
　　Δ₃＝(x₁－x₂)(x₁－x₃)(x₂－x₃)
である。（＊）式でx_i＝x_jと置いてみると
　　f(x₁,…, x_i,…, x_i,…, x_n)＝－f(x₁,…, x_i,…, x_i,…, x_n)
となり、f(x₁,…, x_i,…, x_i,…, x_n)＝0を得るから、交代式f(x₁,……, x_n)はx_iの一変数多項式として解x_jをもち、(x_i－x_j)で割り切れる。したがって任意の差(x_i－x_j)(i＜j)で割り切れるから、それらの積である差積Δnで割り切れる。

　　f(x₁,……, x_n)＝Δn・s(x₁,……, x_n)
なる多項式s(x₁,……, x_n)を考えると、fとΔnは交代式であるから、sは対称式になる。ここで対称式の基本定理を使うと、sは基本対称式s₁、s₂、……、s_nの多項式になる。ここで

である。ゆえに任意の交代式は、基本対称式の多項式と差積の積になる。この結果は交代式の因数分解などに使われる。たとえば
　x³－x²y＋xy²－y³
は交代式であるからΔ₂＝x－yで割り切れる。実際割り算を行って、商x²＋y²を得るから
　x³－x²y＋xy²－y³
　 ＝Δ₂(x²＋y²)＝Δ₂(s₁²－2s₂)
となる。

［菅野恒雄］

出典　小学館　日本大百科全書(ニッポニカ)日本大百科全書(ニッポニカ)について　情報 | 凡例